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Übungen: Binomialverteilung im Abitur

Treffer zählen, Wahrscheinlichkeiten ablesen, Intervalle abschätzen — die Binomialverteilung ist im Abitur fast immer dabei.

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Übungsaufgaben

Zehn Aufgaben quer durch das Thema — vom schnellen Wiedererkennen (AFB I) bis zum begründeten Urteil (AFB III). Jede Übung meldet sofort zurück; wenn du hängst, helfen die zwei Tipps.

A1
Ist das eine Bernoulli-Kette?
AFB I

Nenne alle Bedingungen, die für eine Bernoulli-Kette erfüllt sein müssen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Ohne Zurücklegen ändert sich p von Zug zu Zug — bei einer kleinen Urne deutlich. Erst bei sehr großen Grundgesamtheiten (Umfragen) ist die Binomialverteilung eine gute Näherung.
Frage: Was darf sich von Stufe zu Stufe nicht ändern?Warum? Denke an Münzwurf: zwei Ausgänge, immer p = 0,5, kein Gedächtnis.
Hilfe: Zwei Ausgänge, konstantes p, Unabhängigkeit — sonst nichts.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Aussagen zur Binomialverteilung B(n; p). Gib an, welche stimmen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke: Bei „mindestens“ immer über das Gegenereignis „höchstens k − 1“ gehen — und die Grenze genau prüfen.
Frage: Welche Werte gehören zu „mindestens k“, welche zu „höchstens k“?Warum? Die Zahl k kann nicht in beiden Ereignissen stecken.
Hilfe: p gehört zu den Treffern, also steht bei p der Exponent k.
A3
Fachbegriffe der Binomialverteilung
AFB I

Beschreibe die Binomialverteilung mit Fachbegriffen — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Bei B(n; p) heißt p die und n die . Der „n über k“ zählt die Pfade mit genau k Treffern. Werte wie P(X ≤ k) liefert die Binomialverteilung. Ein Bereich um μ, in dem X mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit liegt, heißt .

Das Stichprobenmittel stammt aus der beschreibenden Statistik; bei der Binomialverteilung spricht man vom Erwartungswert.
Frage: Welcher Begriff zählt Pfade?Warum? „n über k“ ist eine Anzahl von Möglichkeiten.
Hilfe: Kumuliert = aufsummiert: P(X ≤ k) = P(X = 0) + … + P(X = k).
A4
Signalwörter übersetzen
AFB I

X zählt die Treffer. Ordne jede Formulierung der passenden Wahrscheinlichkeit zu.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1P(X ≤ 5)
2P(X ≥ 5)
3P(X = 5)
„Weniger als 6“ schließt die 6 aus und ist deshalb dasselbe wie „höchstens 5“. Wer bei „mehr als“ und „weniger als“ die Grenze mitnimmt, verschiebt das Ergebnis um einen ganzen Balken.
Frage: Gehört die genannte Zahl selbst dazu oder nicht?Warum? „mehr als 4“ beginnt bei 5.
Hilfe: Übersetze jedes Signalwort in ≤, ≥ oder =.
A5
Standardabweichung
AFB I

X ist binomialverteilt mit n = 100 und p = 0,2. Berechne die Standardabweichung σ.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
σ = √(100 · 0,2 · 0,8) = √16 = 4. Mit μ = 20 liegen typische Ergebnisse also etwa zwischen 16 und 24.
Frage: Welche drei Zahlen stehen unter der Wurzel?Warum? n, p und die Gegenwahrscheinlichkeit 1 − p.
Hilfe: 100 · 0,2 · 0,8 = 16.
A6
Prognoseintervall bestimmen
AFB II

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße soll das 95-%-Prognoseintervall bestimmt werden. Stelle das Vorgehen in der richtigen Reihenfolge dar.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Erwartungswert μ = n · p berechnen
2Standardabweichung σ = √(n · p · (1 − p)) berechnen
3Laplace-Bedingung σ > 3 prüfen
4Intervall [μ − 1,96σ; μ + 1,96σ] berechnen
5Grenzen auf ganze Zahlen runden und das Intervall im Sachzusammenhang deuten
Wird die Laplace-Bedingung übersprungen, liefern die σ-Regeln bei kleinen Stichproben unzuverlässige Intervalle — im Abitur wird die Prüfung ausdrücklich erwartet.
Frage: Was brauchst du, bevor du die σ-Regel anwenden darfst?Warum? Die Faustregel gilt nur für hinreichend große Streuung.
Hilfe: μ → σ → σ > 3? → Intervall → runden und deuten.
A7
Raten im Multiple-Choice-Test
AFB II

Ein Test hat 20 Fragen mit je vier Antworten, von denen genau eine richtig ist. Jemand rät bei allen Fragen. Ermittle die Werte mit dem GTR (auf drei Nachkommastellen).

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. P(genau 5 richtig) =
  2. P(höchstens 3 richtig) =
  3. P(mindestens 8 richtig) =
  4. Erwartete Anzahl richtiger Antworten:
Mit Raten besteht man einen Test mit Bestehensgrenze 8 immerhin in rund 10 % der Fälle — deshalb haben echte Tests oft mehr Fragen. P(X ≥ 8) = 1 − P(X ≤ 7).
Frage: Welche Werte haben n und p?Warum? n = 20, p = 0,25.
Hilfe: fx-CG50: Bpd für „genau“, Bcd für „höchstens“; „mindestens 8“ über 1 − P(X ≤ 7).
A8
Modell und Situation
AFB II

Bestimme zu jeder Situation die passende Binomialverteilung.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
n ist immer die Anzahl der Wiederholungen, p die Wahrscheinlichkeit für das, was gezählt wird — beim Glücksrad also 1 von 5 Feldern.
Frage: Was ist jeweils ein „Treffer“?Warum? n = Anzahl der Versuche, p = Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch.
Hilfe: Glücksrad: ein rotes von fünf gleichen Feldern ⇒ p = 1/5.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

X ist binomialverteilt mit n = 50 und p = 0,1. Überprüfe Leas Notizen und markiere die drei falschen Zeilen.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Der Faktor (1 − p) in der Standardabweichung wird besonders oft vergessen, wenn p klein ist — dann fällt der Fehler kaum auf.
Frage: Welcher Faktor fehlt in Zeile 2?Warum? σ braucht n, p und 1 − p.
Hilfe: „mehr als 7“: Welcher Wert ist der kleinste, der dazugehört?
A10
Was passiert mit σ?
AFB III

X ist binomialverteilt mit n und p. Beurteile ohne zu rechnen, wie sich die Standardabweichung σ ändert.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = halbiert sich, 2 = bleibt gleich, 3 = verdoppelt sich, 4 = verdreifacht sich, 5 = vervierfacht sich. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = halbiert sich5 = vervierfacht sich
n wird vervierfacht
p wird durch 1 − p ersetzt
n wird geviertelt
n wird mit 16 multipliziert
n wird mit 9 multipliziert
σ wächst nur mit der Wurzel aus n: Für doppelte Genauigkeit braucht man die vierfache Stichprobe. Und p · (1 − p) ändert sich nicht, wenn man Treffer und Nieten vertauscht.
Frage: Wie geht n in die Formel für σ ein?Warum? σ = √(n · p · (1 − p)) — n steht unter der Wurzel.
Hilfe: Faktor 4 unter der Wurzel ⇒ Faktor 2 bei σ.