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Abituraufgaben: Binomialverteilung im Abitur

Überbuchte Flüge und keimende Samen — Binomialverteilung und Prognoseintervall im Sachkontext.

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Überbuchte Flüge

AFB I–II

Eine Fluggesellschaft setzt auf einer Strecke ein Flugzeug mit 180 Sitzplätzen ein. Erfahrungsgemäß erscheinen 5 % der Passagiere mit gültigem Ticket nicht zum Flug. Deshalb verkauft die Gesellschaft 186 Tickets. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der erscheinenden Passagiere.

  1. Begründen Sie, dass \(X\) näherungsweise als binomialverteilt angesehen werden kann, und nennen Sie eine Situation, in der dieses Modell versagt.
  2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle erscheinenden Passagiere einen Sitzplatz erhalten.
  3. Geben Sie den Erwartungswert von \(X\) an und deuten Sie ihn im Sachzusammenhang.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Prüfen Sie die Bedingungen einer Bernoulli-Kette. Denken Sie an Passagiere, die gemeinsam reisen.Beim Begründen reicht es nicht, die Bedingungen aufzuzählen — sie müssen auf den Sachkontext bezogen werden.
Hinweis zu Aufgabe b)
Alle bekommen einen Platz, wenn höchstens 180 Personen erscheinen (GTR: Bcd bzw. binomCdf).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(\mu=n\cdot p\). Vergleichen Sie mit der Zahl der Plätze.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Jeder Ticketinhaber erscheint oder nicht (zwei Ausgänge), jeweils mit derselben Wahrscheinlichkeit 0,95, und man nimmt an, dass die Personen unabhängig voneinander entscheiden. Also \(X\sim B(186;\,0{,}95)\).

Das Modell versagt z. B. bei Familien oder Reisegruppen (gemeinsames Fehlen) oder bei Streiks und Unwettern.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(P(X\le180)\approx0{,}907\). Mit etwa 9,3 % Wahrscheinlichkeit ist der Flug tatsächlich überbucht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\mu=186\cdot0{,}95=176{,}7\). Im Mittel erscheinen etwa 177 Passagiere — rund 3 Plätze bleiben leer, obwohl 6 Tickets mehr verkauft wurden als Plätze vorhanden sind.

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Keimen die Samen wirklich?

AFB II–III

Ein Saatguthersteller gibt an, dass 90 % seiner Tomatensamen keimen. Eine Gärtnerei sät 400 Samen aus; davon keimen 346.

Für die nächste Saison benötigt die Gärtnerei mindestens 1000 Jungpflanzen. Sie will so viele Samen säen, dass sie dieses Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % erreicht — vorausgesetzt, die Herstellerangabe stimmt.

Verteilung der Anzahl keimender Samen (n = 400, p = 0,9)
3403453503553603653703753800,020,040,06kP(X = k)
Blau: 95-%-Prognoseintervall.
  1. Bestimmen Sie unter der Annahme \(p=0{,}9\) das 95-%-Prognoseintervall für die Anzahl keimender Samen bei 400 ausgesäten Samen.
  2. Nehmen Sie auf Grundlage Ihres Ergebnisses Stellung zur Herstellerangabe.
  3. Ermitteln Sie, wie viele Samen die Gärtnerei mindestens aussäen muss.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Prüfen Sie die Laplace-Bedingung und verwenden Sie die 1,96σ-Regel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Liegt das beobachtete Ergebnis im Prognoseintervall? Bedenken Sie, dass ein Ergebnis außerhalb des Intervalls die Angabe nicht beweisbar widerlegt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Gesucht ist das kleinste \(n\) mit \(P(X\ge1000)\ge0{,}99\) für \(X\sim B(n;\,0{,}9)\). Nutzen Sie eine Wertetabelle mit dem GTR (Tabelle mit \(1-\text{Bcd}(999;n;0{,}9)\)).

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\mu=360\), \(\sigma=\sqrt{400\cdot0{,}9\cdot0{,}1}=6>3\).

\([360-1{,}96\cdot6;\ 360+1{,}96\cdot6]=[348{,}24;\ 371{,}76]\), ganzzahlig: \([349;\,371]\). Kontrolle mit dem GTR: \(P(349\le X\le371)\approx0{,}945\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

346 liegt unterhalb des Intervalls. Bei \(p=0{,}9\) wäre ein so kleines Ergebnis sehr unwahrscheinlich (\(P(X\le346)\approx0{,}015\)).

Die Beobachtung spricht gegen die Herstellerangabe; sicher widerlegt ist sie nicht. Mögliche andere Ursachen: schlechte Lagerung, ungünstige Bedingungen in der Gärtnerei. Vollständig ist eine Stellungnahme, die beides abwägt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ansatz: \(P(X\ge1000)=1-P(X\le999)\ge0{,}99\).

GTR-Tabelle: \(n=1137\): \(\approx0{,}9892\); \(n=1138\): \(\approx0{,}9914\).

Die Gärtnerei muss mindestens 1138 Samen säen.