Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: rückwärts arbeiten, Strukturen erkennen und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe in 2–3 Sätzen, warum im rechtwinkligen Dreieck für jeden spitzen Winkel 0 < sin α < 1 gilt.
Hinweis: Vergleiche die Längen, die im Bruch stehen.
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Musterlösung: sin α ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Beide Längen sind positiv, also ist der Quotient größer als 0. Da die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüberliegt, ist sie die längste Seite des Dreiecks; der Zähler ist also stets kleiner als der Nenner und der Quotient kleiner als 1.
Zeige mithilfe der Seiten a, b, c, dass sin α = cos β gilt, wenn γ = 90° ist.
Hinweis: Benenne die Seiten einmal aus Sicht von α und einmal aus Sicht von β.
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Musterlösung: Aus Sicht von α ist a die Gegenkathete, also sin α = a : c. Aus Sicht von β liegt a am Winkel an, a ist die Ankathete von β, also cos β = a : c. Beide Terme sind derselbe Bruch, daher sin α = cos β. Wegen β = 90° − α gilt allgemein sin α = cos(90° − α).
Weise nach ohne Taschenrechner, dass tan 45° = 1 ist.
Hinweis: Welches besondere Dreieck entsteht, wenn ein spitzer Winkel 45° beträgt?
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Musterlösung: Ist α = 45°, so ist auch β = 180° − 90° − 45° = 45°. Das Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig, die Katheten sind gleich lang: a = b. Damit ist tan 45° = a : b = 1.
Beurteile die Aussage: „Verdoppelt man den Winkel, so verdoppelt sich auch sein Sinuswert.“
Hinweis: Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um eine allgemeine Aussage zu widerlegen.
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: sin 30° = 0,5, aber sin 60° ≈ 0,866 und nicht 1. Sinuswerte wachsen zwischen 0° und 90° zwar, aber nicht proportional zum Winkel — sonst müsste sin 90° = 3 · sin 30° = 1,5 sein, obwohl der Sinus nie größer als 1 wird.
Erläutere, warum der Satz des Pythagoras ein Sonderfall des Kosinussatzes ist.
Hinweis: Setze einen besonderen Winkel in den Kosinussatz ein.
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Musterlösung: Der Kosinussatz lautet c² = a² + b² − 2ab · cos γ und gilt in jedem Dreieck. Ist γ = 90°, so ist cos 90° = 0 und der Korrekturterm fällt weg. Übrig bleibt c² = a² + b², also der Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck.
Begründe, warum man in einem Dreieck, von dem nur die drei Seiten bekannt sind, nicht mit dem Sinussatz beginnen kann.
Hinweis: Was braucht jeder Bruch im Sinussatz?
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Musterlösung: Jeder Quotient im Sinussatz besteht aus einer Seite und ihrem Gegenwinkel. Bei SSS ist kein einziger Winkel bekannt, also ist kein Quotient vollständig. Jede Gleichung des Sinussatzes enthält dann zwei unbekannte Winkel und lässt sich nicht lösen. Man beginnt deshalb mit dem Kosinussatz, der aus drei Seiten einen Winkel liefert; danach kann der Sinussatz weiterhelfen.
Entwickle mit dem Sinus eine Formel für die Höhe h eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a. Du darfst sin 60° = √3 : 2 verwenden.
Hinweis: Welche Winkel hat ein gleichseitiges Dreieck — und welches rechtwinklige Teildreieck entsteht durch die Höhe?
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Musterlösung: Im gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel 60°. Die Höhe zerlegt es in zwei rechtwinklige Dreiecke; in jedem ist die Seite a die Hypotenuse und h die Gegenkathete des 60°-Winkels. Also gilt sin 60° = h : a und damit h = a · sin 60° = a · √3 : 2 ≈ 0,866 · a.
Nimm Stellung zur Aussage: „Eine Straße mit 100 % Steigung verläuft senkrecht.“
Hinweis: Was bedeutet der Prozentwert als Verhältnis zweier Strecken?
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. 100 % Steigung bedeutet, dass man auf 100 m waagerechter Strecke 100 m an Höhe gewinnt, also m = 1. Der Steigungswinkel ist dann tan⁻¹(1) = 45°. Eine senkrechte Wand hätte keine waagerechte Strecke — ihr Tangens und damit die Prozentangabe wären unbegrenzt groß.
Untersuche, warum es zu a = 5 cm, b = 7 cm und α = 40° zwei verschiedene Dreiecke gibt.
Hinweis: Berechne β mit dem Sinussatz und denke daran, dass zwei Winkel denselben Sinuswert haben können.
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Musterlösung: Mit dem Sinussatz ist sin β = 7 · sin 40° : 5 ≈ 0,900. Dazu passen β₁ ≈ 64,1° und β₂ = 180° − β₁ ≈ 115,9°. Beide Winkel lassen mit α = 40° noch Platz für einen dritten Winkel (γ₁ ≈ 75,9°, γ₂ ≈ 24,1°). Weil der gegebene Winkel der kürzeren Seite a gegenüberliegt, schneidet der Kreis um C mit Radius a den freien Schenkel zweimal — es entstehen zwei Dreiecke.
Analysiere den Fehler: Jonas tippt „sin 30“ in den Rechner und erhält −0,988. Er schreibt: „Dann ist die Gegenkathete negativ.“
Hinweis: Welcher Wert sollte herauskommen — und woran liegt die Abweichung?
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Musterlösung: Richtig ist sin 30° = 0,5. Der Rechner stand im Bogenmaß (Rad) und hat sin(30 rad) ≈ −0,988 berechnet. Jonas’ Folgerung ist unsinnig, denn Seitenlängen und damit Seitenverhältnisse im Dreieck sind immer positiv. Er muss den Rechner auf Grad umstellen: beim GTR SHIFT MENU (SET UP) → Angle → Deg, beim CAS in den Dokumenteinstellungen Winkel: Grad.