MINT lernen

Übung — AFB II

Leitern, Leuchttürme und Passstraßen: Erst die Skizze, dann das passende Dreieck — und am Ende ein Antwortsatz.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
2

Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus allen Kapiteln des Themas: erst die Situation übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Leiter an der Hauswand
AFB II

Eine 6 m lange Leiter lehnt an einer senkrechten Hauswand. Sie bildet mit dem Boden einen Winkel von 72°.

a) Wie hoch reicht die Leiter an der Wand? b) Wie weit steht der Fuß der Leiter von der Wand entfernt?

m
m
Ansatz: Die Leiter ist die Hypotenuse. Für die Höhe (Gegenkathete) passt der Sinus, für den Abstand (Ankathete) der Kosinus.
Rechenweg: a) h = 6 m · sin 72° ≈ 5,71 m; b) d = 6 m · cos 72° ≈ 1,85 m.
Lösung: a) 5,71 m b) 1,85 m
Vollständige Lösung
a) h = 6 m · sin 72° ≈ 5,71 m; b) d = 6 m · cos 72° ≈ 1,85 m. Die Leiter reicht etwa 5,71 m hoch, ihr Fuß steht 1,85 m von der Wand entfernt. Probe mit Pythagoras: 5,71² + 1,85² ≈ 36 = 6². Hinweis: Sicherheitsregeln fordern 65°–75° — bei 72° ist die Leiter also richtig aufgestellt.
h = ?d = ?6 m72°
Leiter, Wand und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck
A2
Rollstuhlrampe
AFB II

Eine Rollstuhlrampe darf höchstens 6 % Steigung haben. Sie soll einen Höhenunterschied von 0,45 m überwinden.

a) Welchen Neigungswinkel hat die Rampe bei genau 6 %? b) Wie lang muss die Rampe waagerecht gemessen mindestens sein?

°
m
Ansatz: 6 % bedeutet m = 0,06 = Höhe : waagerechte Länge. Der Winkel folgt mit tan⁻¹.
Rechenweg: a) α = tan⁻¹(0,06) ≈ 3,43°; b) waagerecht = 0,45 m : 0,06 = 7,5 m.
Lösung: a) 3,43° b) 7,5 m
Vollständige Lösung
a) α = tan⁻¹(0,06) ≈ 3,43°; b) waagerecht = 0,45 m : 0,06 = 7,5 m. Die Rampe ist nur etwa 3,43° geneigt und braucht waagerecht mindestens 7,5 m Platz. Hinweis: Prozent und Grad nicht verwechseln: 6 % sind nur gut 3°.
α = ?waagerecht ? m0,45 mSkizze nicht maßstäblich
Die Steigung bezieht sich auf die waagerechte Strecke
A3
Höhe eines Baums
AFB II

Lea steht 25 m vom Fuß eines Baums entfernt. Mit einem Neigungsmesser in Augenhöhe (1,6 m) misst sie zur Baumspitze einen Höhenwinkel von 32°.

a) Wie hoch liegt die Baumspitze über Leas Augenhöhe? b) Wie hoch ist der Baum?

m
m
Ansatz: Das rechtwinklige Dreieck liegt in Augenhöhe: Ankathete 25 m, Gegenkathete x → Tangens. Danach Augenhöhe addieren.
Rechenweg: a) x = 25 m · tan 32° ≈ 15,62 m; b) h = x + 1,6 m ≈ 17,22 m.
Lösung: a) 15,62 m b) 17,22 m
Vollständige Lösung
a) x = 25 m · tan 32° ≈ 15,62 m; b) h = x + 1,6 m ≈ 17,22 m. Die Spitze liegt 15,62 m über Leas Auge, der Baum ist also etwa 17,22 m hoch. Hinweis: Wer die Augenhöhe vergisst, verliert in der Arbeit den letzten Punkt.
x = ?25 m32°AugeSpitze
Dreieck in Augenhöhe
A4
Boot vor dem Leuchtturm
AFB II

Vom 45 m hohen Leuchtturm sieht der Wärter ein Boot unter einem Tiefenwinkel von 12°. Einige Minuten später beträgt der Tiefenwinkel 20°.

a) Wie weit ist das Boot anfangs vom Fuß des Turms entfernt? b) Welche Strecke hat das Boot in dieser Zeit zurückgelegt (es fährt direkt auf den Turm zu)?

m
m
Ansatz: Der Tiefenwinkel am Turm ist so groß wie der Höhenwinkel am Boot (Wechselwinkel). Turmhöhe = Gegenkathete, Entfernung = Ankathete → Tangens.
Rechenweg: a) e = 45 m : tan 12° ≈ 211,71 m; b) später 45 m : tan 20° ≈ 123,64 m, also s ≈ 88,07 m.
Lösung: a) 211,71 m b) 88,07 m
Vollständige Lösung
a) e = 45 m : tan 12° ≈ 211,71 m; b) später 45 m : tan 20° ≈ 123,64 m, also s ≈ 88,07 m. Das Boot war zunächst etwa 211,71 m entfernt und hat rund 88,07 m zurückgelegt. Hinweis: Mit dem gerundeten Zwischenergebnis weiterrechnen kostet Genauigkeit — besser den Rechnerspeicher nutzen.
WaagerechteBoot 1Boot 245 m
Tiefenwinkel werden gegen die Waagerechte gemessen
A5
Drachen steigen lassen
AFB II

Tom lässt einen Drachen an einer 80 m langen, straff gespannten Schnur steigen. Die Schnur bildet mit dem Boden einen Winkel von 55°. Toms Hand ist 1,2 m über dem Boden.

a) Wie hoch fliegt der Drachen über dem Boden? b) Wie weit steht Tom waagerecht vom Punkt unter dem Drachen entfernt?

m
m
Ansatz: Schnur = Hypotenuse. Höhe über der Hand mit dem Sinus, Abstand mit dem Kosinus. Die Handhöhe am Ende addieren.
Rechenweg: a) 80 m · sin 55° ≈ 65,53 m, plus 1,2 m ≈ 66,73 m; b) d = 80 m · cos 55° ≈ 45,89 m.
Lösung: a) 66,73 m b) 45,89 m
Vollständige Lösung
a) 80 m · sin 55° ≈ 65,53 m, plus 1,2 m ≈ 66,73 m; b) d = 80 m · cos 55° ≈ 45,89 m. Der Drachen fliegt etwa 66,73 m hoch; Tom steht 45,89 m entfernt. Hinweis: Eine straffe Schnur ist eine Idealisierung — in echt hängt sie durch, der Drachen fliegt also etwas tiefer.
?d = ?80 m55°HandDrachen
Die Schnur ist die Hypotenuse
A6
Satteldach
AFB II

Ein Haus ist 10 m breit. Das symmetrische Satteldach hat eine Dachneigung von 38°.

a) Wie lang ist ein Dachsparren von der Traufe bis zum First? b) Wie hoch liegt der First über der Traufe?

m
m
Ansatz: Die Höhe teilt das Dach in zwei rechtwinklige Dreiecke mit Ankathete 5 m (halbe Breite).
Rechenweg: a) s = 5 m : cos 38° ≈ 6,35 m; b) h = 5 m · tan 38° ≈ 3,91 m.
Lösung: a) 6,35 m b) 3,91 m
Vollständige Lösung
a) s = 5 m : cos 38° ≈ 6,35 m; b) h = 5 m · tan 38° ≈ 3,91 m. Ein Sparren ist etwa 6,35 m lang, der First liegt 3,91 m über der Traufe. Hinweis: Häufiger Fehler: mit der ganzen Hausbreite 10 m statt mit 5 m rechnen.
38°5 m5 ms = ?h = ?
Symmetrie: halbe Hausbreite nutzen
A7
Dreieckiges Grundstück
AFB II

Ein dreieckiges Grundstück hat zwei Seiten von 40 m und 55 m, die an einer Ecke einen Winkel von 64° einschließen.

a) Berechne den Flächeninhalt des Grundstücks. b) Wie lang ist die dritte Seite (für den Zaun)?

m²
m
Ansatz: Zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel: Fläche mit A = ½ · b · c · sin α, dritte Seite mit dem Kosinussatz.
Rechenweg: a) A = ½ · 40 · 55 · sin 64° ≈ 988,67 m²; b) c² = 40² + 55² − 2 · 40 · 55 · cos 64° → c ≈ 51,92 m.
Lösung: a) 988,67 m² b) 51,92 m
Vollständige Lösung
a) A = ½ · 40 · 55 · sin 64° ≈ 988,67 m²; b) c² = 40² + 55² − 2 · 40 · 55 · cos 64° → c ≈ 51,92 m. Das Grundstück ist etwa 988,67 m² groß, die dritte Seite misst 51,92 m. Hinweis: Bei SWS ist der Kosinussatz der einzige direkte Weg zur dritten Seite.
? m55 m40 m64°ABC
Seite – Winkel – Seite
A8
Breite eines Flusses
AFB II

Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, wird am Ufer eine 120 m lange Standlinie AB abgesteckt. Ein Baum C am anderen Ufer erscheint von A aus unter 58°, von B aus unter 72° gegen die Standlinie.

a) Berechne die Entfernung von A zum Baum C. b) Wie breit ist der Fluss (Abstand von C zur Standlinie)?

m
m
Ansatz: Dritter Winkel über die Winkelsumme, dann Sinussatz. Die Breite ist die Höhe von C auf AB.
Rechenweg: a) γ = 180° − 58° − 72° = 50°; AC = 120 m · sin 72° : sin 50° ≈ 148,98 m; b) Breite = AC · sin 58° ≈ 126,34 m.
Lösung: a) 148,98 m b) 126,34 m
Vollständige Lösung
a) γ = 180° − 58° − 72° = 50°; AC = 120 m · sin 72° : sin 50° ≈ 148,98 m; b) Breite = AC · sin 58° ≈ 126,34 m. Der Baum ist etwa 148,98 m von A entfernt, der Fluss ist rund 126,34 m breit. Hinweis: Genau so arbeiten Vermesser: Eine Strecke messen, zwei Winkel peilen — der Rest ist Rechnung.
AC = ?120 m58°72°ABC
WSW: Sinussatz
A9
Wanderung mit Knick
AFB II

Eine Wandergruppe geht 3,2 km geradeaus, biegt dann ab und geht 4,5 km weiter. Die beiden Wegstücke schließen einen Winkel von 115° ein.

a) Wie weit ist die Gruppe in Luftlinie vom Start entfernt? b) Unter welchem Winkel gegen das erste Wegstück liegt das Ziel, vom Start aus gesehen?

km
°
Ansatz: Erst der Kosinussatz für die Luftlinie (SWS), dann mit dem Sinussatz den Winkel am Start.
Rechenweg: a) e² = 3,2² + 4,5² − 2 · 3,2 · 4,5 · cos 115° → e ≈ 6,53 km; b) sin δ = 4,5 · sin 115° : 6,53 → δ ≈ 38,6°.
Lösung: a) 6,53 km b) 38,6°
Vollständige Lösung
a) e² = 3,2² + 4,5² − 2 · 3,2 · 4,5 · cos 115° → e ≈ 6,53 km; b) sin δ = 4,5 · sin 115° : 6,53 → δ ≈ 38,6°. Das Ziel liegt etwa 6,53 km vom Start entfernt, 38,6° gegen die erste Wegrichtung gedreht. Hinweis: Beim stumpfen Winkel wird cos negativ — der Kosinussatz addiert dann etwas zu 3,2² + 4,5².
4,5 km3,2 km?115°δStartZielKnick
Zwei Wegstücke, ein stumpfer Winkel
A10
Passstraße
AFB II

Auf einem Verkehrsschild steht „12 % Steigung“. Ein Auto fährt auf dieser Straße 800 m weit (gemessen entlang der Straße).

a) Welchen Steigungswinkel hat die Straße? b) Wie viele Höhenmeter gewinnt das Auto dabei?

°
m
Ansatz: 12 % → m = 0,12 → Winkel mit tan⁻¹. Die 800 m sind schräg gemessen, also die Hypotenuse → Sinus.
Rechenweg: a) α = tan⁻¹(0,12) ≈ 6,84°; b) h = 800 m · sin 6,84° ≈ 95,32 m.
Lösung: a) 6,84° b) 95,32 m
Vollständige Lösung
a) α = tan⁻¹(0,12) ≈ 6,84°; b) h = 800 m · sin 6,84° ≈ 95,32 m. Die Straße steigt unter etwa 6,84° an; auf 800 m gewinnt man rund 95,32 Höhenmeter. Hinweis: Mit 0,12 · 800 = 96 m zu rechnen wäre falsch — die 12 % beziehen sich auf die waagerechte Strecke.
α800 mh = ?Skizze nicht maßstäblich12 %
800 m entlang der Straße