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Trigonometrische Beziehungen

Gegenkathete oder Ankathete? Es kommt auf den Winkel an — und aus einem Wert folgen alle anderen.

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Rollen der Seiten sortieren
AFB I

Dreieck ABC, rechter Winkel bei C. Sortiere jede Karte nach der Rolle der genannten Seite.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Gegenkathete
2Ankathete
3Hypotenuse
Nur die Hypotenuse behält ihre Rolle. Die Katheten tauschen, sobald man den anderen spitzen Winkel betrachtet.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zu den Beziehungen zwischen sin, cos und tan.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Die drei Beziehungen tan = sin : cos, sin² + cos² = 1 und sin α = cos(90° − α) reichen, um aus einem Wert alle anderen zu bestimmen.
A3
Ergänzungswinkel verbinden
AFB I

Verbinde jeden Ausdruck mit dem gleichwertigen.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Die beiden Winkel ergänzen sich immer zu 90° — das sind genau die zwei spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks.
A4
Rechenkette: aus sin α alles andere
AFB II

Für einen spitzen Winkel gilt sin α = 0,28.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. sin²α =
  2. cos²α = 1 − sin²α =
  3. cos α =
  4. tan α = sin α : cos α ≈ (3 Nachkommastellen)
Ohne einen einzigen Winkel ist alles bestimmt: Mit 7, 24 und 25 cm gibt es ein passendes Dreieck — 0,28 = 7 : 25, 0,96 = 24 : 25.
A5
Nur α, nur β oder beide?
AFB II

Dreieck ABC mit γ = 90°. Für welchen Winkel ist die Aussage richtig?

Ordne jeden Begriff einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 nur für α
2 für α und β
3 nur für β
Alles, was von der Hypotenuse und der Winkelsumme abhängt, gilt für beide Winkel. Nur die Rollen der Katheten sind winkelabhängig.
A6
Herleitung zusammenbauen: sin² + cos² = 1
AFB II

Baue die Herleitung in der richtigen Reihenfolge — zwei Bausteine sind Fallen.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die Wurzel aus einer Summe ist nicht die Summe der Wurzeln — deshalb ist „a + b = c“ die klassische Falle.
A7
Blitzrechnung: cos aus sin
AFB II

Für einen spitzen Winkel ist sin α = 0,6. Berechne cos α ohne den Winkel zu bestimmen.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
cos α = √(1 − 0,6²) = √0,64 = 0,8. Das ist das 3-4-5-Dreieck: 3 : 5 = 0,6 und 4 : 5 = 0,8.
A8
Welche Gleichungen stimmen immer?
AFB II

α ist ein spitzer Winkel. Welche Gleichungen gelten für jeden solchen Winkel?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
tan α · cos α = sin α ist nur die umgestellte Beziehung tan = sin : cos. Die Summe sin α + cos α ist dagegen meist größer als 1 (z. B. bei 45° etwa 1,41).
A9
Lenas Weg zum Tangens
AFB II

Lena kennt nur cos α = 0,8 und soll tan α bestimmen. Begleite sie.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Der Weg cos → sin → tan funktioniert immer. Die häufigste Falle ist das vergessene Wurzelziehen in Schritt 2.
    A10
    Fehlersuche: Umformungen
    AFB III

    Sechs Zeilen aus einem Heft — drei sind falsch.

    In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
    Zwei Fehler kommen aus dem gleichen Denkfehler: Quadrate werden wie normale Zahlen behandelt. sin² ist eine Abkürzung für das Quadrat des Sinuswerts.