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Eine Rampe nach Datenblatt
AFB I–IIEin Hersteller beschreibt eine 5,00 m lange Verladerampe nur mit der Angabe sin α = 0,28 (M1). α ist der Neigungswinkel gegen den Boden.
M1Verladerampe
- Bestimmen Sie cos α und tan α, ohne den Winkel α zu berechnen.
- Berechnen Sie die Höhe h und die waagerechte Länge w der Rampe.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
sin²α + cos²α = 1 und tan α = sin α : cos α.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Rampe ist die Hypotenuse.
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
cos α = √(1 − 0,28²) = √0,9216 = 0,96; tan α = 0,28 : 0,96 ≈ 0,292.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
h = 5,00 m · 0,28 = 1,40 m; w = 5,00 m · 0,96 = 4,80 m. Probe: 1,4² + 4,8² = 25 = 5².
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Beziehungen beweisen
AFB II–IIIIm Dreieck ABC ist γ = 90° (M2). Die Katheten heißen a und b, die Hypotenuse c.
M2Dreieck mit γ = 90°
- Zeigen Sie, dass sin α = cos(90° − α) gilt.
- Leiten Sie tan α = sin α : cos α aus den Seitenverhältnissen her.
- Widerlegen Sie die Behauptung „sin α + cos α = 1 für jeden spitzen Winkel“.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Welcher Winkel ist 90° − α?
Hinweis zu Aufgabe b)
Schreibe sin α und cos α als Brüche und teile.
Hinweis zu Aufgabe c)
Ein Gegenbeispiel genügt.
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
β = 90° − α. sin α = a : c. Von β aus ist a die Ankathete: cos β = a : c. Also sin α = cos β = cos(90° − α).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
sin α : cos α = (a : c) : (b : c) = a : c · c : b = a : b = tan α.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Für α = 45° ist sin 45° + cos 45° ≈ 0,707 + 0,707 ≈ 1,414 ≠ 1. Richtig ist sin²α + cos²α = 1.