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Trigonometrische Beziehungen

Ist die Gegenkathete von α vielleicht die Ankathete von β? Ein Blick vom anderen Winkel aus verrät erstaunliche Zusammenhänge.

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Die Rolle hängt vom Winkel ab

Ein rechtwinkliges Dreieck hat zwei spitze Winkel \(\alpha\) und \(\beta\). Welche Kathete „gegenüber“ und welche „anliegend“ ist, entscheidet der Blick vom Winkel aus.

  • Bezeichnung:rechter Winkel bei \(C\); Seite \(a\) liegt \(A\) gegenüber, \(b\) liegt \(B\) gegenüber, \(c\) ist die Hypotenuse.
  • Von α aus:Gegenkathete \(a\), Ankathete \(b\).
  • Von β aus:Gegenkathete \(b\), Ankathete \(a\) — die Katheten tauschen die Rollen.

Wähle unten einen Stift und klicke die passende Seite an (oder Tab und Enter). Markiere erst für \(\alpha\), dann für \(\beta\), und prüfe jeweils.

Seiten markieren

Halte fest: Die Gegenkathete von \(\alpha\) ist die Ankathete von \(\beta\). Deshalb ist \(\sin\alpha=\cos\beta\).

  • Winkelsumme:\(\alpha+\beta=90^\circ\), also \(\beta=90^\circ-\alpha\).
  • Folgerung:\(\sin\alpha=\dfrac{a}{c}=\cos\beta\) und \(\cos\alpha=\dfrac{b}{c}=\sin\beta\).
Merke

Ergänzungswinkel: \(\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)\) und \(\cos\alpha=\sin(90^\circ-\alpha)\)

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Beziehungen zwischen sin, cos und tan

Mit den Seiten \(a\), \(b\), \(c\) lassen sich die drei Verhältnisse ineinander umrechnen.

Herleitung:

\(\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{a/c}{b/c}\)
kürzen
Start: Sinus und Kosinus als Seitenverhältnisse einsetzen.
\(\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{a}{b}\)
einsetzen
Die Hypotenuse \(c\) kürzt sich weg.
\(\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha\)
Ergebnis
Gegenkathete durch Ankathete ist der Tangens.

Herleitung:

\(a^2+b^2=c^2\)
| : c^2
Start: Satz des Pythagoras im Dreieck.
\(\left(\dfrac{a}{c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c}\right)^2=1\)
einsetzen
Beide Seiten durch \(c^2\) teilen.
\((\sin\alpha)^2+(\cos\alpha)^2=1\)
Ergebnis
\(\tfrac{a}{c}=\sin\alpha\) und \(\tfrac{b}{c}=\cos\alpha\) einsetzen; man schreibt kurz \(\sin^2\alpha\).
Merke

Beziehungen: \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) · \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

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Allgemeine Hinweise

sin²α ist nicht sin(α²)

\(\sin^2\alpha\) bedeutet \((\sin\alpha)^2\): erst den Sinus bilden, dann quadrieren.

Seitennamen folgen den Ecken

Liegt der rechte Winkel nicht bei \(C\), heißt die Hypotenuse anders. Immer zuerst den rechten Winkel suchen.

Ein Wert genügt

Aus \(\sin\alpha=0{,}6\) folgt \(\cos\alpha=\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8\) und \(\tan\alpha=0{,}75\) — ganz ohne Winkel.

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