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Sachaufgaben: Trigonometrie

Flugzeug und Turm: Messen, wo man nicht hinkommt.

1

Landeanflug

AFB I–II

Ein Flugzeug nähert sich der Landebahn auf einem geraden Gleitpfad, der unter 3° gegen die Waagerechte geneigt ist (M1). Es befindet sich in 300 m Höhe über dem Aufsetzpunkt.

M1Gleitpfad zur Landebahn
3°GleitpfadEntfernung ?300 mSkizze nicht maßstäblich
Der Winkel ist zur Verdeutlichung vergrößert gezeichnet
  1. Berechnen Sie die waagerechte Entfernung zum Aufsetzpunkt.
  2. Bestimmen Sie, welche Strecke das Flugzeug auf dem Gleitpfad zurücklegt, bis es nur noch 50 m hoch ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Höhe = Gegenkathete, Entfernung = Ankathete.
Hinweis zu Aufgabe b)
Hypotenuse zwischen den beiden Punkten — oder Differenz der Entfernungen, dann umrechnen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

e = 300 m : tan 3° ≈ 5724 m ≈ 5,7 km.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Höhenunterschied 250 m → Strecke = 250 m : sin 3° ≈ 4777 m.

2

Der Turm hinter dem Fluss

AFB II–III

Ein Turm steht auf der anderen Seite eines Flusses, sein Fuß ist nicht erreichbar. Mia misst von Punkt A aus einen Höhenwinkel von 25° zur Turmspitze. Sie geht 50 m direkt auf den Turm zu und misst in B 40° (M2). Die Messungen erfolgen vom Boden aus.

M2Zwei Messungen, ein Turm
25°40°50 mABh = ?
Der Abstand von B zum Turm ist unbekannt
  1. Stellen Sie mit x = Abstand von B zum Turmfuß zwei Gleichungen für die Turmhöhe h auf.
  2. Ermitteln Sie x und die Turmhöhe h.
  3. Bewerten Sie die Genauigkeit des Verfahrens, wenn Mia die Winkel nur auf ganze Grad genau ablesen kann.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Je ein rechtwinkliges Dreieck mit A und mit B.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setze die beiden Terme gleich und löse nach x.
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne mit 24° bzw. 26° statt 25° und vergleiche.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

h = x · tan 40° und h = (x + 50 m) · tan 25°.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

x · tan 40° = (x + 50) · tan 25° → x = 50 · tan 25° : (tan 40° − tan 25°) ≈ 62,54 m; h ≈ 52,48 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mit 24°: h ≈ 47,4 m, mit 26°: h ≈ 58,2 m. Schon 1° Ablesefehler ändert h um mehrere Meter — das Verfahren ist empfindlich, weil die Differenz der Kehrwerte klein ist. Größerer Abstand zwischen A und B verbessert die Genauigkeit.