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Tangens als Steigungsmaß

Steigung, Steigungswinkel und Prozent — drei Sprachen für dieselbe Neigung.

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Steigung und Winkel verbinden
AFB I

Verbinde jede Steigung m mit ihrem Steigungswinkel.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Doppelte Steigung heißt nicht doppelter Winkel: 0,5 → 26,6°, aber 2 → 63,4°.
A2
Blitzrechnung: Steigungswinkel
AFB I

Berechne den Steigungswinkel der Geraden y = 1,5x − 4 (auf eine Nachkommastelle).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
α = tan⁻¹(1,5) ≈ 56,3°. Der y-Achsenabschnitt −4 spielt keine Rolle — er verschiebt die Gerade nur.
A3
Schätz-Regler: 10 % Steigung
AFB II

Ein Schild zeigt 10 % Steigung. Wie groß ist der Steigungswinkel ungefähr?

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
0 °45 °
tan⁻¹(0,1) ≈ 5,7°. Viele schätzen 10° — Prozent und Grad sind verschiedene Maße.
A4
Steigt, fällt oder waagerecht?
AFB I

Kreuze für jede Gerade an, wie ihr Steigungswinkel aussieht.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
Geradeα > 0°α = 0°α < 0°
y = 3x + 1
y = −0,5x + 2
y = 4
y = x
y = −2x
Das Vorzeichen von m bestimmt das Vorzeichen des Steigungswinkels. Bei m = 0 liegt die Gerade waagerecht.
A5
Stimmt's? — Steigung in Prozent
AFB II

Fünf Behauptungen zur Steigung.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Prozentwert = m · 100 %. Der Winkel folgt immer über tan⁻¹ — nie durch einfaches Umrechnen.
A6
Rechenkette: Straße mit 7 %
AFB II

Eine Straße hat 7 % Steigung. Ein Auto fährt 2 km waagerecht gemessen.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. m =
  2. Höhenunterschied = m
  3. Steigungswinkel ≈ °
  4. Länge entlang der Straße ≈ m
Die schräge Straße ist nur knapp 5 m länger als die waagerechte Strecke — bei kleinen Steigungen fast kein Unterschied.
A7
Wie steil ist das?
AFB II

Sortiere nach dem Steigungswinkel.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1unter 10°
210° bis 45°
3über 45°
Die Grenze 45° liegt bei m = 1 bzw. 100 %. Alles darüber ist steiler als ein 45°-Hang.
A8
Nach Steilheit ordnen
AFB II

Ordne von flach nach steil.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1m = 0,05
2Steigung 12 %
3Steigungswinkel 20°
4m = 1
5Steigungswinkel 70°
Zum Vergleichen alles in eine Größe übersetzen: 12 % → 6,8°, m = 0,05 → 2,9°, m = 1 → 45°.
A9
Was passiert mit dem Winkel?
AFB III

Die Steigung einer Geraden wird verändert. Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird viel kleiner, 2 = wird kleiner, 3 = bleibt gleich, 4 = wird größer, 5 = wird viel größer. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = wird viel kleiner5 = wird viel größer
m wird von 0,1 auf 0,2 verdoppelt
Die Gerade wird um 5 nach oben verschoben
m wird von 1 auf −1 geändert
m wird von 10 auf 20 verdoppelt
m wird von 2 auf 0,5 geändert
Bei kleinen m verdoppelt sich der Winkel fast (5,7° → 11,3°), bei großen m kaum (84,3° → 87,1°) — tan⁻¹ ist keine Gerade.
A10
Musterlösung: Gefälle einer Skipiste
AFB III

Eine Skipiste fällt auf 400 m waagerechter Strecke um 180 m. Baue die Lösung für den Neigungswinkel — zwei Bausteine sind Fallen.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die 400 m sind waagerecht gemessen, also die Ankathete — deshalb Tangens, nicht Sinus.