Steigung und Steigungswinkel
Das Steigungsdreieck einer Geraden ist ein rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel an der x-Achse heißt Steigungswinkel \(\alpha\).
- Steigungsdreieck:1 nach rechts, \(m\) nach oben (bei \(y=m\,x+b\)).
- Vom Winkel aus:die waagerechte Seite ist die Ankathete, die senkrechte die Gegenkathete.
- Also:\(\tan\alpha=\dfrac{m}{1}=m\) — der Tangens misst die Steigung.
- Umgekehrt:\(\alpha=\tan^{-1}(m)\); eine fallende Gerade liefert einen negativen Winkel.
Verändere die Steigung \(m\) mit dem Regler und beobachte den Steigungswinkel \(\alpha\) und das Steigungsdreieck.
Halte fest: Die Gegenkathete des Steigungsdreiecks mit Ankathete 1 ist genau die Steigung \(m=\tan\alpha\). Bei \(m=1\) ist \(\alpha=45^\circ\).
Steigungswinkel: \(\tan\alpha=m\) · \(\alpha=\tan^{-1}(m)\)
Steigung in Prozent
Auf Verkehrsschildern steht die Steigung in Prozent: Höhenunterschied pro 100 m waagerechter Strecke.
- 12 % Steigung:12 m Höhe auf 100 m waagerecht, also \(m=\dfrac{12}{100}=0{,}12\).
- Winkel:\(\alpha=\tan^{-1}(0{,}12)\approx 6{,}84^\circ\).
- 100 %:\(m=1\), also \(\alpha=45^\circ\) — nicht senkrecht.
- Umrechnen:Prozentwert = \(m\cdot 100\,\%\).
Steigung in Prozent: \(p\,\%=\tan\alpha\cdot 100\,\%\)
Allgemeine Hinweise
Prozent sind keine Grad
12 % Steigung sind nur etwa 7°. Prozent und Grad wachsen nicht im gleichen Maß.
Waagerecht messen
Die 100 m im Nenner sind waagerecht gemessen, nicht entlang der schrägen Straße.
Auf den Rechner achten
Für \(\tan^{-1}\): GTR SHIFT tan, CAS Taste trig — Winkeleinheit Grad.