Streckenlängen und Winkel: Übungen – Mathe Klasse 9

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

Tims Rechenweg

AFB I

Tim soll im Dreieck mit γ = 90°, c = 15 cm und α = 24° die Seite a berechnen. Begleite ihn.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.

Ergebnis: a = 15 cm · sin 24° ≈ 6,10 cm. Rechnet der GTR im Bogenmaß, kommt ein negativer Wert heraus — ein sicheres Warnsignal.

Blitzrechnung: Ankathete

AFB I

γ = 90°, c = 20 cm, α = 37°. Berechne die Ankathete b (auf zwei Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

b = c · cos α = 20 cm · cos 37° ≈ 15,97 cm.

Rechenkette: ein Dreieck vollständig

AFB II

γ = 90°, a = 9 cm, α = 52°.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.

β = °
c = a : sin α ≈ cm
b = a : tan α ≈ cm
Probe: a² + b² ≈ (ganze Zahl) cm²

Wenn die Probe c² ≈ 130,4 cm² trifft, stimmt die Rechnung. Pythagoras ist die schnellste Kontrolle.

Lösungsschritte ordnen

AFB I

Bringe die Schritte zur Berechnung eines Winkels in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.

1Skizze zeichnen, rechten Winkel markieren

2gegebene Seiten vom gesuchten Winkel aus benennen

3passende Funktion wählen, z. B. tan α = a : b

4Verhältnis ausrechnen, z. B. 0,75

5Winkel mit tan⁻¹ bestimmen: α ≈ 36,87°

Am häufigsten rutscht das Benennen nach hinten — aber ohne die Rollen der Seiten kann man keine Funktion wählen.

Welche Funktion passt?

AFB II

γ = 90°. Kreuze für jede Aufgabe die passende Funktion an.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.

gegeben → gesucht	sin	cos	tan
α und c → a
α und c → b
α und b → a
a und c → α
b und c → α
a und b → α

Regel: Die passende Funktion enthält genau die beiden Seiten, die gegeben oder gesucht sind. Die dritte Seite kommt nicht vor.

Entscheidungsbaum: Welcher Ansatz?

AFB II

Situation: rechtwinkliges Dreieck, bekannt sind die beiden Katheten, gesucht ist ein Winkel.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.

Zwei Katheten ohne Hypotenuse — dafür gibt es nur eine Funktion: den Tangens.

Musterlösung zusammenbauen

AFB II

γ = 90°, a = 7 cm, α = 33°. Gesucht ist die Hypotenuse c. Zwei Bausteine sind Fallen.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.

Die Falle „c = 7 cm · sin 33° ≈ 3,81 cm“ liefert eine Hypotenuse, die kürzer als die Kathete ist — das kann nie stimmen.

Schätz-Regler: Winkel ohne Rechner

AFB II

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 5 cm (gegenüber α) und 5 cm. Wie groß ist α?

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.

0 °90 °

Gleich lange Katheten → gleichschenklig-rechtwinklig → α = 45°, tan 45° = 1.

Tastenfolgen am Rechner

AFB I

Welche Aussagen zu GTR (Casio fx-CG50) und CAS (TI-Nspire CX CAS) stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Kontrolle vor jeder Rechnung: sin 30 muss 0,5 ergeben. Steht der Rechner auf Rad, sind alle Ergebnisse falsch.

A10

Fehlersuche: Umstellen

AFB III

Sechs Rechnungen aus einem Heft — drei sind falsch (γ = 90°).

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Probe mit dem gesunden Menschenverstand: Die Hypotenuse ist die längste Seite, Winkel im Dreieck liegen zwischen 0° und 90°.