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Der Sinussatz

Boje und Brandmeldung: Orte bestimmen aus zwei Winkeln.

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Die Boje im See

AFB I–II

Um die Lage einer Boje C zu bestimmen, wird am Ufer eine 250 m lange Standlinie AB abgesteckt. Von A aus erscheint die Boje unter 72°, von B aus unter 55° gegen die Standlinie (M1).

M1Vermessung vom Ufer aus
BC = ?AC = ?250 m72°55°ABC
Standlinie AB am Ufer, Boje C im See
  1. Geben Sie den Winkel γ bei der Boje an.
  2. Berechnen Sie die Entfernungen AC und BC.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Winkelsumme.
Hinweis zu Aufgabe b)
Sinussatz mit dem Paar c–γ.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

γ = 180° − 72° − 55° = 53°.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

AC = 250 m · sin 55° : sin 53° ≈ 256,42 m; BC = 250 m · sin 72° : sin 53° ≈ 297,71 m.

2

Brandmeldung vom Wachturm

AFB II–III

Zwei Feuerwachtürme T1 und T2 stehen 8,0 km voneinander entfernt. Beide sehen eine Rauchsäule R. Der Winkel zwischen der Verbindung T1T2 und der Richtung zum Rauch beträgt bei T1 48°, bei T2 63° (M2).

M2Peilung einer Rauchsäule
8,0 km48°63°T1T2R
Die Türme peilen die Richtung zum Rauch
  1. Bestimmen Sie die Entfernung des Feuers von beiden Türmen.
  2. Ermitteln Sie den kürzesten Abstand des Feuers zur Straße, die geradlinig von T1 nach T2 führt.
  3. Diskutieren Sie, ob die Peilwerte 95° bei T1 und 90° bei T2 möglich sein können.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Erst der dritte Winkel, dann Sinussatz.
Hinweis zu Aufgabe b)
Höhe auf die Seite T1T2.
Hinweis zu Aufgabe c)
Winkelsumme und Lage der Peilrichtungen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Winkel bei R: 69°; T1R = 8,0 km · sin 63° : sin 69° ≈ 7,64 km; T2R = 8,0 km · sin 48° : sin 69° ≈ 6,37 km.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

h = T1R · sin 48° ≈ 5,67 km.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Nein: 95° + 90° = 185° > 180°. Die beiden Peilstrahlen würden sich auf dieser Seite der Linie T1T2 nie schneiden — ein Messfehler liegt vor. Nur wenn die Summe unter 180° bleibt, entsteht ein Dreieck.