Sinus, Kosinus, Tangens: Übungen – Mathe Klasse 9

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

Welche Seite ist die Hypotenuse?

AFB I

Im Dreieck PQR liegt der rechte Winkel bei Q. Welche Aussagen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Die Lage auf dem Blatt spielt keine Rolle: Die Hypotenuse ist immer die Seite gegenüber dem rechten Winkel — hier PR — und damit die längste Seite.

Begriffs-Memory

AFB I

Finde die sechs Paare aus Begriff und Bedeutung.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.

Eselsbrücke „GAGA Hühnerhof AG“: sin = G/H, cos = A/H, tan = G/A — in genau dieser Reihenfolge.

Lückentext: Warum nur der Winkel zählt

AFB I

Setze die Fachbegriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Zwei rechtwinklige Dreiecke mit gleichem Winkel α sind zueinander. Deshalb sind ihre gleich. Das Verhältnis aus Gegenkathete und Hypotenuse heißt von α, das aus Ankathete und Hypotenuse von α.

„Kongruent“ passt nicht: Kongruente Dreiecke sind deckungsgleich, also auch gleich groß. Für gleiche Verhältnisse reicht Ähnlichkeit — die Dreiecke dürfen verschieden groß sein.

Kreuztabelle: Welches Verhältnis ist gemeint?

AFB II

Rechtwinkliges Dreieck ABC mit γ = 90°. Kreuze an, welcher Ausdruck jeweils berechnet wird.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.

Bruch	sin α	cos α	tan α
a : c
b : c
a : b
Gegenkathete von α durch Hypotenuse
Gegenkathete von α durch Ankathete von α

Merke die Rollen vom Winkel α aus: a liegt gegenüber, b liegt an, c ist die Hypotenuse. Steht die Hypotenuse nicht im Bruch, ist es der Tangens.

Blitzrechnung: Kosinus aus Seiten

AFB I

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 5 cm und 12 cm und die Hypotenuse 13 cm. Die Seite mit 12 cm liegt am Winkel α. Berechne cos α (auf drei Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

cos α = Ankathete : Hypotenuse = 12 : 13 ≈ 0,923. Häufiger Fehler: 5 : 13 — das ist sin α, weil 5 cm α gegenüberliegt.

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen rund um Sinus, Kosinus und Tangens.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Alle fünf Aussagen folgen aus zwei Tatsachen: Die Hypotenuse ist die längste Seite, und ähnliche Dreiecke haben gleiche Verhältnisse.

Seiten und Verhältnisse verbinden

AFB II

Ein Dreieck hat die Seiten a = 6 cm (gegenüber α), b = 8 cm und c = 10 cm (γ = 90°). Verbinde jeden Ausdruck mit seinem Wert.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

tan β = b : a = 8 : 6 ist der Kehrwert von tan α — von β aus tauschen die Katheten ihre Rollen. Das wird in 6.1.2 wichtig.

Schätz-Regler: Wie groß ist sin 30°?

AFB II

Zeichne im Kopf ein rechtwinkliges Dreieck mit α = 30°. Wie viel Prozent der Hypotenuse ist die Gegenkathete lang? Schätze ohne Rechner.

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.

0 %100 %

sin 30° = 0,5: Die Gegenkathete ist genau halb so lang wie die Hypotenuse. Grund: Spiegelt man das Dreieck an der Ankathete, entsteht ein gleichseitiges Dreieck.

Fehlersuche im Schulheft

AFB II

Sechs Sätze aus Tims Heft — drei davon sind falsch. Finde sie.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.

Der häufigste Fehler ist der vertauschte Bruch: Die Hypotenuse steht beim Sinus und Kosinus immer im Nenner.

A10

Was passiert mit dem Verhältnis?

AFB III

Ein rechtwinkliges Dreieck mit α = 30° wird verändert. Schätze für jede Zeile ein, was passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = wird viel kleiner, 2 = wird kleiner, 3 = bleibt gleich, 4 = wird größer, 5 = wird viel größer. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.

1 = wird viel kleiner5 = wird viel größer

Alle Seiten werden verdreifacht — was passiert mit sin α?

α wird von 30° auf 60° vergrößert — was passiert mit sin α?

α wird von 30° auf 60° vergrößert — was passiert mit cos α?

α wird von 30° auf 85° vergrößert — was passiert mit tan α?

α wird von 30° auf 5° verkleinert — was passiert mit tan α?

Die Größe des Dreiecks ändert kein Verhältnis. Nur der Winkel zählt: sin und tan wachsen mit α, cos fällt. Nahe 90° wird tan α riesig (tan 85° ≈ 11,4).