MINT lernen

Sinus, Kosinus, Tangens

Treppen und Schatten: Wie aus Seitenverhältnissen Höhen werden.

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Die Schultreppe

AFB I–II

Eine Treppe hat Stufen mit 17 cm Höhe und 29 cm Auftrittsbreite (M1). Die gedachte Linie über die Stufenkanten bildet mit der Waagerechten den Steigungswinkel α.

Eine Kellertreppe hat Stufen mit 34 cm Höhe und 58 cm Auftritt.

M1Eine Stufe als rechtwinkliges Dreieck
17 cm29 cmTreppenlinieα
Höhe 17 cm, Auftritt 29 cm
  1. Geben Sie an, welche Seite der Stufe Gegenkathete und welche Ankathete von α ist.
  2. Berechnen Sie die Länge der Treppenlinie über einer Stufe sowie sin α, cos α und tan α auf drei Nachkommastellen.
  3. Vergleichen Sie die Steilheit der Kellertreppe mit der Schultreppe.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Schau vom Winkel α aus, der unten links liegt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erst Pythagoras für die Hypotenuse, dann die drei Verhältnisse.
Hinweis zu Aufgabe c)
Bilde für die Kellertreppe dieselben Verhältnisse — oder vergleiche die Maße direkt.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Gegenkathete: Stufenhöhe 17 cm (liegt α gegenüber); Ankathete: Auftritt 29 cm (liegt an α an); Hypotenuse: Stück der Treppenlinie.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

c = √(17² + 29²) ≈ 33,62 cm; sin α = 17 : 33,62 ≈ 0,506; cos α = 29 : 33,62 ≈ 0,863; tan α = 17 : 29 ≈ 0,586.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

34 : 58 = 17 : 29 ≈ 0,586: Alle Maße sind verdoppelt, die Dreiecke sind ähnlich, also sind tan α (und sin, cos) gleich. Beide Treppen sind gleich steil, die Kellerstufen nur doppelt so groß.

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Schatten auf dem Schulhof

AFB II–III

An einem sonnigen Vormittag wirft ein 1,20 m langer, senkrechter Stab einen 1,60 m langen Schatten. Gleichzeitig ist der Schatten der Sporthalle 12,40 m lang (M2). Die Sonnenstrahlen verlaufen parallel.

M2Stab, Schatten und Sonnenstrahl
Stab 1,20 mSchatten 1,60 mα
α ist der Einfallswinkel der Sonnenstrahlen
  1. Ermitteln Sie tan α für den Einfallswinkel der Sonnenstrahlen.
  2. Bestimmen Sie die Höhe der Sporthalle.
  3. Beurteilen Sie die Aussage: „Um 15 Uhr funktioniert die Methode genauso — man braucht dann aber einen neuen Stabschatten.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welche Seiten stehen zum Winkel α am Boden?
Hinweis zu Aufgabe b)
Bei der Halle ist der Winkel derselbe — also auch tan α.
Hinweis zu Aufgabe c)
Was ändert sich im Laufe des Tages, was bleibt gleich?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

tan α = Stab : Schatten = 1,20 m : 1,60 m = 0,75.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

h = 12,40 m · 0,75 = 9,30 m. Die Sporthalle ist etwa 9,30 m hoch.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage ist richtig. Die Methode beruht darauf, dass alle Schatten zur selben Zeit denselben Einfallswinkel haben (ähnliche Dreiecke). Um 15 Uhr steht die Sonne anders, α und tan α ändern sich — deshalb muss der Stabschatten neu gemessen werden, gleichzeitig mit dem Hallenschatten.