Seiten im rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck bekommen die Seiten Namen — immer aus Sicht eines spitzen Winkels, hier \(\alpha\).
- Hypotenuse:liegt dem rechten Winkel gegenüber, die längste Seite.
- Gegenkathete:liegt dem Winkel \(\alpha\) gegenüber.
- Ankathete:liegt am Winkel \(\alpha\) an und ist nicht die Hypotenuse.
- Ähnlichkeit:gleiche Winkel ⇒ ähnliche Dreiecke ⇒ gleiche Seitenverhältnisse (Kapitel 5).
Ziehe die Ecke \(B\). Halte danach \(\alpha\) fest und ziehe weiter: Das Dreieck wird größer oder kleiner, die Verhältnisse bleiben.
Halte fest: Die drei Seitenverhältnisse hängen nur vom Winkel \(\alpha\) ab, nicht von der Größe des Dreiecks.
Sinus, Kosinus und Tangens
Weil die Verhältnisse nur vom Winkel abhängen, bekommen sie eigene Namen.
- Sinus:\(\sin\alpha\) = Gegenkathete durch Hypotenuse.
- Kosinus:\(\cos\alpha\) = Ankathete durch Hypotenuse.
- Tangens:\(\tan\alpha\) = Gegenkathete durch Ankathete.
- Werte:Sinus und Kosinus liegen zwischen \(0\) und \(1\), denn die Hypotenuse ist die längste Seite.
Seitenverhältnisse: \(\sin\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\) · \(\cos\alpha=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\) · \(\tan\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)
Allgemeine Hinweise
Immer vom Winkel aus schauen
Gegenkathete und Ankathete tauschen, wenn man den anderen spitzen Winkel betrachtet. Zuerst den Winkel markieren, dann benennen.
Nur im rechtwinkligen Dreieck
Die drei Verhältnisse gelten so nur, wenn das Dreieck einen rechten Winkel hat.
Eselsbrücke
„GAGA Hühner-Hof AG“: sin = G/H, cos = A/H, tan = G/A.