Wissen und Reproduzieren
15 PunkteIm Dreieck ABC ist der rechte Winkel bei C.
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c ist die Hypotenuse (gegenüber dem rechten Winkel), a liegt α gegenüber (Gegenkathete), b liegt an α an (Ankathete). 3 P, Abzug je Fehlentscheidung.
Im rechtwinkligen Dreieck (γ = 90°) sind c = 14 cm und α = 41° gegeben.
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a) a = 14 cm · sin 41° ≈ 9,18 cm (2 P). b) b = 14 cm · cos 41° ≈ 10,57 cm (2 P).
Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind a = 3,5 cm und b = 8 cm (γ = 90°).
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tan α = 3,5 : 8 = 0,4375 (1 P) → α = tan⁻¹(0,4375) ≈ 23,6° (2 P).
Lea rechnet am GTR.
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sin⁻¹ ist die Zweitbelegung der sin-Taste (SHIFT). Ergebnis ≈ 23,58°, sofern der Rechner auf Deg steht. 2 P.
Gegeben ist die Gerade y = 0,8 · x − 2.
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m = 0,8 (1 P), α = tan⁻¹(0,8) ≈ 38,7° (2 P).
Zusammenhänge herstellen
21 PunkteEin Schild zeigt 15 % Steigung. Ein Radfahrer fährt 1,2 km entlang der Straße bergauf.
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a) α = tan⁻¹(0,15) ≈ 8,53° (2 P). b) Die 1,2 km sind die Hypotenuse: h = 1200 m · sin 8,53° ≈ 178,0 m (3 P). Fehler: 0,15 · 1200 = 180 m nutzt die schräge statt der waagerechten Strecke.
Von einer 62 m hohen Klippe sieht man ein Segelboot unter einem Tiefenwinkel von 9°, später unter 15°.
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a) e = 62 m : tan 9° ≈ 391,5 m (3 P). b) e₂ = 62 m : tan 15° ≈ 231,4 m, s ≈ 160,1 m (2 P).
Ein Dreieck hat die Seiten b = 9 cm und c = 12 cm mit dem eingeschlossenen Winkel α = 48°.
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A = ½ · 9 cm · 12 cm · sin 48° ≈ 40,13 cm² (Formel 1 P, Einsetzen 1 P, Ergebnis 1 P).
Im Dreieck ABC gilt c = 10 cm, α = 35° und β = 110°.
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a) γ = 180° − 35° − 110° = 35° (1 P). b) b = 10 cm · sin 110° : sin 35° ≈ 16,38 cm (3 P).
Zwei Seiten eines Dreiecks sind a = 7 cm und b = 11 cm; sie schließen γ = 128° ein.
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c² = 49 + 121 − 154 · cos 128° ≈ 264,81 (2 P) → c ≈ 16,27 cm (2 P). Da γ stumpf ist, ist c länger als bei 90°.
Verallgemeinern und beurteilen
14 PunkteBeurteile die Aussagen.
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Richtig: sin α < 1, weil die Hypotenuse die längste Seite ist; 100 % bedeutet m = 1 → 45°. Falsch: tan 60° ≈ 1,73 > 1; sin 60° ≈ 0,87 ≠ 2 · sin 30° = 1. 4 P.
Gegeben sind a = 6 cm, b = 9 cm und α = 35°.
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sin β = 9 · sin 35° : 6 ≈ 0,860 → β₁ ≈ 59,4° (2 P), β₂ = 180° − β₁ ≈ 120,6° (2 P). Beide lassen mit α einen positiven dritten Winkel übrig → zwei Dreiecke (1 P).
Aus 30 m waagerechtem Abstand sieht man den Fuß eines Fahnenmasts auf einem Dach unter 40° und seine Spitze unter 55° (Messung vom Boden aus).
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a) h = 30 m · tan 40° ≈ 25,17 m (2 P). b) Spitze: 30 m · tan 55° ≈ 42,84 m; Mast l ≈ 17,67 m (3 P). Differenz der beiden Höhen, nicht 30 m · tan 15°!
Ergebnis
| Aufgabe | Thema | Punkte |
|---|
Notenschema
| Punkte | Note | Beurteilung |
|---|---|---|
| 50 – 46 P | 1 | sehr gut |
| 45 – 40 P | 2 | gut |
| 39 – 30 P | 3 | befriedigend |
| 29 – 22 P | 4 | ausreichend |
| 21 – 12 P | 5 | mangelhaft |
| 11 – 0 P | 6 | ungenügend |