Wenn der Sinussatz nicht reicht
Sind zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen (SWS) oder alle drei Seiten (SSS) bekannt, fehlt dem Sinussatz ein Paar. Dann hilft der Kosinussatz — eine Erweiterung des Satzes von Pythagoras.
- Idee:Höhe \(h\) von \(B\) auf \(b\) zerlegt das Dreieck; Fußpunkt \(D\).
- Teilstücke:\(\overline{CD}=a\cdot\cos\gamma\), \(\overline{DA}=b-a\cdot\cos\gamma\), \(h=a\cdot\sin\gamma\).
- Pythagoras:im Teildreieck \(ABD\) gilt \(c^2=h^2+\overline{DA}^2\).
Herleitung:
Kosinussatz: \(c^2=a^2+b^2-2\,a\,b\cdot\cos\gamma\)
Pythagoras als Sonderfall
Der Korrekturterm \(-2ab\cos\gamma\) zeigt, wie stark das Dreieck vom rechtwinkligen abweicht.
- γ = 90°:\(\cos 90^\circ=0\) — es bleibt \(c^2=a^2+b^2\).
- γ < 90°:\(\cos\gamma>0\) — \(c^2\) ist kleiner als \(a^2+b^2\).
- γ > 90°:\(\cos\gamma<0\) — \(c^2\) ist größer als \(a^2+b^2\).
- Winkel gesucht:umgestellt \(\cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\), dann \(\gamma=\cos^{-1}(\dots)\).
Starte das Scharnier oder ziehe die Ecke \(B\): Die Seiten \(a\) und \(b\) bleiben gleich, nur der Winkel \(\gamma\) ändert sich. Rechts siehst du \(c^2\) aus zwei Teilen entstehen.
Halte fest: Der Korrekturterm verschwindet bei \(90^\circ\), zieht bei spitzem \(\gamma\) etwas ab und legt bei stumpfem \(\gamma\) etwas dazu.
Allgemeine Hinweise
Der Winkel zwischen a und b
In \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\) muss \(\gamma\) der Winkel zwischen \(a\) und \(b\) sein — also gegenüber von \(c\).
Erst multiplizieren, dann abziehen
\(a^2+b^2-2ab\cos\gamma\) nicht von links nach rechts rechnen: zuerst \(2ab\cos\gamma\) bilden, dann subtrahieren.
Am Ende die Wurzel
Der Kosinussatz liefert \(c^2\). Die Seite \(c\) folgt erst durch Wurzelziehen.