MINT lernen

Die Formelsammlung nutzen

Formeln übersetzen und einen Lösungsplan entwickeln.

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Formel übersetzen

AFB I–II

Im Dreieck PQR sind die Seiten q = 5 cm, r = 7 cm und der Winkel φ = 48° bei P gegeben (M1). Die Formelsammlung nennt den Kosinussatz nur in der Form a² = b² + c² − 2bc · cos α.

M1Dreieck PQR
p = ?q = 5 cmr = 7 cmφ = 48°PQR
φ liegt bei P zwischen q und r
  1. Ordnen Sie den Fall einem Kongruenzsatz zu und begründen Sie die Wahl des Kosinussatzes.
  2. Stellen Sie den Kosinussatz mit den Bezeichnungen des Dreiecks PQR auf.
  3. Berechnen Sie die Seite p.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Wo liegt der Winkel?
Hinweis zu Aufgabe b)
a ↔ p, α ↔ φ, b und c ↔ q und r.
Hinweis zu Aufgabe c)
Einsetzen, Punkt vor Strich, Wurzel.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

SWS: φ liegt zwischen q und r. Es gibt kein Paar Seite–Gegenwinkel, also Kosinussatz.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

p² = q² + r² − 2qr · cos φ.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

p² = 25 + 49 − 70 · cos 48° → p ≈ 5,21 cm.

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Orientierungslauf

AFB II–III

Beim Orientierungslauf läuft Jana vom Start S 1,2 km zu Posten 1 und von dort 0,9 km zu Posten 2. An Posten 1 schließen die beiden Wegstücke einen Winkel von 125° ein (M2). Von Posten 2 soll sie direkt zum Start zurücklaufen.

M2Janas Laufstrecke
0,9 km1,2 kmRückweg ?125°SP2P1
Start, Posten 1 und Posten 2
  1. Entwickeln Sie einen Lösungsplan, mit dem Jana Länge und Richtung (Winkel bei P2) ihres Rückwegs bestimmen kann.
  2. Ermitteln Sie die Länge des Rückwegs und den Winkel bei Posten 2.
  3. Überprüfen Sie die Aussage einer Mitläuferin: „Der Rückweg ist kürzer als 2,1 km, weil man sonst ja einfach die beiden Wegstücke laufen könnte.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Welcher Satz zuerst, welcher danach?
Hinweis zu Aufgabe b)
Plan aus a) umsetzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Dreiecksungleichung.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

1. SWS → Kosinussatz für den Rückweg. 2. Dann gibt es das Paar Rückweg–125°; mit dem Sinussatz den Winkel bei P2 (sicher spitz, weil er nicht der längsten Seite gegenüberliegt). 3. Kontrolle über die Winkelsumme.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

e² = 1,2² + 0,9² − 2 · 1,2 · 0,9 · cos 125° → e ≈ 1,868 km. sin δ = 1,2 · sin 125° : e → δ ≈ 31,8°.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Richtig: In jedem Dreieck ist eine Seite kürzer als die Summe der beiden anderen. 1,87 km < 1,2 km + 0,9 km = 2,1 km. Wegen des stumpfen Winkels ist der Rückweg aber länger als jedes einzelne Wegstück.