Mit der Höhe zerlegen
Ein Dreieck ohne rechten Winkel lässt sich trotzdem mit Sinus, Kosinus und Tangens berechnen: Die Höhe zerlegt es in zwei rechtwinklige Teildreiecke.
- Höhe:\(h\) steht von \(C\) aus senkrecht auf der Seite \(c\), Fußpunkt \(F\).
- Links:im Teildreieck \(AFC\) ist \(b\) die Hypotenuse und \(h\) die Gegenkathete von \(\alpha\).
- Rechts:im Teildreieck \(FBC\) ist \(a\) die Hypotenuse und \(h\) die Gegenkathete von \(\beta\).
- Also:\(h=b\cdot\sin\alpha\) und ebenso \(h=a\cdot\sin\beta\).
Ziehe die Ecke \(C\) und zerlege das Dreieck entlang der Höhe. Vergleiche die beiden Rechnungen für \(h\).
Halte fest: Beide Teildreiecke sind rechtwinklig und haben dieselbe Höhe \(h\) — so wird aus einem beliebigen Dreieck Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck.
Flächeninhalt mit dem Sinus
Die Flächenformel \(A=\tfrac12\cdot g\cdot h\) braucht die Höhe. Mit dem Sinus lässt sie sich aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel berechnen.
Herleitung:
- Merkhilfe:zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen.
Flächeninhalt: \(A=\tfrac12\cdot b\cdot c\cdot\sin\alpha=\tfrac12\cdot a\cdot c\cdot\sin\beta=\tfrac12\cdot a\cdot b\cdot\sin\gamma\)
Allgemeine Hinweise
Der eingeschlossene Winkel
In \(\tfrac12\cdot b\cdot c\cdot\sin\alpha\) muss \(\alpha\) zwischen \(b\) und \(c\) liegen. Ein anderer Winkel liefert eine falsche Fläche.
Höhe von der richtigen Ecke
Die Höhe \(h\) auf \(c\) beginnt bei \(C\). Wer von \(A\) aus zeichnet, bekommt eine andere Höhe.
Winkelsumme nutzen
Sind zwei Winkel bekannt, gilt \(\gamma=180^\circ-\alpha-\beta\).