MINT lernen

Umkehrung des Satzes des Pythagoras

Zehn Aufgaben zum Prüfen: Wann ist ein Dreieck rechtwinklig — und wann nur fast?

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Stimmt’s? — Umkehrung
AFB I

Fünf Behauptungen zur Umkehrung des Satzes.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Die Umkehrung ist ein Rechentest: längste Seite als c, dann a² + b² mit c² vergleichen.
A2
Rechtwinklig, spitz- oder stumpfwinklig?
AFB I

Sortiere die Seitentripel (in cm) nach der Art des größten Winkels.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1rechtwinklig
2spitzwinklig
3stumpfwinklig
Vergleiche immer a² + b² mit c²: gleich → 90°, größer → spitz, kleiner → stumpf. Bei 10, 10, 14: 200 > 196 — ganz knapp spitzwinklig.
A3
Blitzrechnung: Summe der Kathetenquadrate
AFB I

Ein Dreieck hat die Seiten 11 cm, 60 cm und 61 cm. Berechne die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten.

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
121 + 3600 = 3721 = 61². Das Dreieck ist also rechtwinklig — ein Tripel, das kaum jemand kennt.
A4
Kreuztabelle: Vergleich von a² + b² und c²
AFB II

Kreuze für jedes Tripel an, wie a² + b² zu c² steht (c ist die längste Seite).

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
Seitena² + b² < c²a² + b² = c²a² + b² > c²
12, 16, 20
3, 4, 6
7, 7, 9
15, 36, 39
2, 3, 4
7, 7, 9: 98 > 81 — spitzwinklig. 2, 3, 4: 13 < 16 — stumpfwinklig. 15, 36, 39 ist das Tripel 5, 12, 13 mal 3.
A5
Prüfschema in der richtigen Reihenfolge
AFB II

Bringe die Schritte zur Prüfung auf Rechtwinkligkeit in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Alle Seiten in dieselbe Einheit umrechnen.
2Die längste Seite als c festlegen.
3a² + b² ausrechnen.
4c² ausrechnen.
5Vergleichen und entscheiden: rechtwinklig, spitz- oder stumpfwinklig.
Am häufigsten verrutscht Schritt 2: Wer c nicht zuerst festlegt, rechnet oft die falschen beiden Quadrate zusammen.
A6
Satz oder Umkehrung?
AFB II

Ordne jede Aussage zu: Gehört sie zum Satz des Pythagoras, zu seiner Umkehrung — oder zu beiden?

Ordne jeden Begriff einem der drei Bereiche zu. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, dann 1–3 für den Bereich, 0 zurück.
1 nur Satz
2 beide
3 nur Umkehrung
Satz und Umkehrung tauschen Voraussetzung und Folgerung. Beide handeln von derselben Gleichung — aber in entgegengesetzter Richtung.
A7
Entscheidungsbaum: Wie prüfe ich die Ecke?
AFB II

Situation: Ein Tischler hat an einer Holzplatte drei Maße: 45 cm und 60 cm entlang der Kanten und 75 cm quer. Alle Maße sind in derselben Einheit. Finde den richtigen Ausgang.

Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
    45, 60, 75 ist das Tripel 3, 4, 5 mal 15 — solche Maße nutzen Handwerker gern, weil man die Rechnung kaum braucht.
    A8
    Rechenkette: Ist das Dach-Dreieck rechtwinklig?
    AFB II

    Ein Dachdreieck hat die Kanten 2,8 m, 4,5 m und 5,3 m.

    Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
    1. 2,8² = m²
    2. 4,5² = m²
    3. Summe der beiden = m²
    4. 5,3² = m²
    Summe und 5,3² sind gleich: Der Winkel zwischen den Kanten 2,8 m und 4,5 m ist ein rechter. 28, 45, 53 ist ein pythagoreisches Tripel.
    A9
    Fehlersuche im Schulheft
    AFB II

    Sechs Sätze aus einem Heft — drei sind falsch.

    In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
    Zeile 2 ist der Klassiker: Nicht die Reihenfolge der Angabe, sondern die Länge entscheidet, welche Seite c ist.
    A10
    Wie verändert sich der Winkel?
    AFB III

    Ausgangspunkt ist das rechtwinklige Dreieck 6 cm, 8 cm, 10 cm (γ = 90°). Schätze ein, was mit γ passiert — ohne zu rechnen.

    Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = γ wird deutlich spitzer, 2 = γ wird etwas spitzer, 3 = γ bleibt 90°, 4 = γ wird etwas stumpfer, 5 = γ wird deutlich stumpfer. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
    1 = γ wird deutlich spitzer5 = γ wird deutlich stumpfer
    Alle drei Seiten werden verdreifacht.
    c wird auf 10,2 cm verlängert.
    c wird auf 7 cm verkürzt.
    c wird auf 13 cm verlängert.
    c wird auf 9,8 cm verkürzt.
    Verdreifachen ändert keinen Winkel (18² + 24² = 30²). Eine längere Seite c öffnet den gegenüberliegenden Winkel, eine kürzere schließt ihn — je stärker die Änderung, desto deutlicher.