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Umkehrung des Satzes des Pythagoras

Ein schiefes Fundament und eine Knotenschnur: Zwei Aufgaben, in denen die Rechnung den rechten Winkel überprüft.

1

Das Fundament fürs Gartenhaus

AFB I–II

Für ein Gartenhaus soll ein rechteckiges Fundament abgesteckt werden: 2,4 m breit und 3,2 m lang. Jonas spannt Schnüre und misst an einer Ecke die Diagonale: 4,1 m.

Abgestecktes Fundament
3,2 m2,4 mgemessen 4,1 m
Skizze nicht maßstäblich
  1. Berechne, wie lang die Diagonale bei einer genau rechtwinkligen Ecke sein müsste.
  2. Entscheide, ob Jonas’ Ecke spitz- oder stumpfwinklig ist.
  3. Beschreibe, wie Jonas die Ecke korrigieren kann.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Diagonale ist die Hypotenuse zu den beiden Seiten.
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche 2,4² + 3,2² mit 4,1².
Hinweis zu Aufgabe c)
Was muss mit der Diagonale passieren?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

d = √(2,4² + 3,2²) = √(5,76 + 10,24) = √16 = 4 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

4,1² = 16,81 > 16 = 2,4² + 3,2²: Die Diagonale ist zu lang, der Winkel also größer als 90° — die Ecke ist stumpfwinklig.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Er verschiebt den Eckpflock so, dass die Seiten 2,4 m und 3,2 m bleiben und die Diagonale genau 4 m misst. Dann ist die Ecke nach der Umkehrung des Pythagoras rechtwinklig.

2

Die Zwölf-Knoten-Schnur

AFB II–III

Schon im alten Ägypten sollen Landvermesser rechte Winkel mit einer Schnur mit 12 gleichen Abständen abgesteckt haben. Mia besitzt eine Schnur von 36 m Länge, auf der alle 1 m ein Knoten sitzt. Sie will damit die Ecke eines Sportfelds prüfen.

  1. Erkläre, warum ein zu 3 + 4 + 5 Abständen gespanntes Seil einen rechten Winkel liefert.
  2. Bestimme alle Möglichkeiten, mit Mias 36-m-Schnur ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten zu spannen.
  3. Beurteile die Aussage: „Mit einer längeren Schnur wird die Ecke genauer.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Umkehrung des Satzes des Pythagoras.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die drei Seiten ergeben zusammen 36 m. Probiere Vielfache von 3, 4, 5 und andere Tripel.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wie wirkt sich ein Fehler von einigen Zentimetern bei kurzen und bei langen Seiten aus?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Nach der Umkehrung ist das Dreieck rechtwinklig, der rechte Winkel liegt zwischen den Seiten mit 3 und 4 Abständen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

3·3 + 3·4 + 3·5 = 36: Seiten 9 m, 12 m, 15 m. Weitere Tripel mit Umfang 36 gibt es nicht (5, 12, 13 hat Umfang 30; 8, 15, 17 hat 40). Also nur 9 m, 12 m, 15 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage stimmt im Wesentlichen: Ein Spannfehler von z. B. 5 cm verändert bei 3 m-Seiten den Winkel viel stärker als bei 12 m-Seiten. Allerdings muss die lange Schnur straff und die Knoten genau gesetzt sein — sonst summieren sich Fehler.