Umkehrung des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras schließt vom rechten Winkel auf die Gleichung. Die Umkehrung schließt in die andere Richtung.

• Satz:\(\gamma=90^\circ\;\Rightarrow\;a^2+b^2=c^2\).
• Umkehrung:\(a^2+b^2=c^2\;\Rightarrow\;\gamma=90^\circ\) — der rechte Winkel liegt der längsten Seite \(c\) gegenüber.
• Begründung:Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(a\) und \(b\) hat die Hypotenuse \(\sqrt{a^2+b^2}=c\).
• Kongruenz:Beide Dreiecke stimmen in allen drei Seiten überein (SSS) — also auch im Winkel: \(\gamma=90^\circ\).

• 1. Schritt:die längste Seite als \(c\) nehmen.
• 2. Schritt:\(a^2+b^2\) und \(c^2\) getrennt ausrechnen.
• Gleich:rechtwinklig, \(\gamma=90^\circ\).
• \(a^2+b^2>c^2\):spitzwinklig, \(\gamma<90^\circ\).
• \(a^2+b^2<c^2\):stumpfwinklig, \(\gamma>90^\circ\).

Drei Stäbe liegen bereit. Entscheide erst, ob daraus ein rechtwinkliges Dreieck wird — dann wird das Dreieck gelegt und nachgerechnet.

Halte fest: Auf das Auge ist kein Verlass — ob der Winkel genau \(90^\circ\) hat, entscheidet der Vergleich von \(a^2+b^2\) mit \(c^2\).

• Zahlentripel:ganze Zahlen mit \(a^2+b^2=c^2\), z. B. \(3,4,5\) und \(5,12,13\) — auch jedes Vielfache: \(6,8,10\).
• Maurerschnur:12 gleiche Abschnitte, gespannt zu \(3+4+5\) — die Ecke zwischen 3 und 4 wird ein rechter Winkel.