Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: rückwärts arbeiten, Strukturen erkennen und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe in zwei bis drei Sätzen, warum die Hypotenuse in jedem rechtwinkligen Dreieck länger ist als jede der beiden Katheten.
Hinweis: Vergleiche c² mit a² und mit b².
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Musterlösung: Nach dem Satz des Pythagoras ist c² = a² + b². Weil b² eine positive Zahl ist, ist c² größer als a². Da Längen positiv sind, folgt daraus c > a. Genauso zeigt man c > b — die Hypotenuse ist also immer die längste Seite.
Untersuche und begründe, was mit der Hypotenuse und mit dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks passiert, wenn man beide Katheten verdoppelt.
Hinweis: Setze 2a und 2b in den Satz des Pythagoras ein.
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Musterlösung: Mit den Katheten 2a und 2b gilt für die neue Hypotenuse x: x² = (2a)² + (2b)² = 4a² + 4b² = 4c². Also ist x = 2c — die Hypotenuse verdoppelt sich ebenfalls. Der Flächeninhalt wird ½ · 2a · 2b = 4 · ½ · a · b, er vervierfacht sich.
Beurteile, ob eine Tischplatte einen rechten Winkel hat: Ein Tischler misst an einer Ecke 60 cm und 80 cm entlang der Kanten und zwischen den Messpunkten 99 cm.
Hinweis: Welcher Wert müsste bei einem rechten Winkel herauskommen?
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Musterlösung: Bei einem rechten Winkel müsste die Diagonale √(60² + 80²) cm = √10000 cm = 100 cm lang sein. Gemessen sind aber nur 99 cm: 99² = 9801 < 10000 = 60² + 80². Die Ecke ist also spitzwinklig, der Winkel etwas kleiner als 90° — die Platte ist nicht rechtwinklig.
Zeige, dass aus den beiden Kathetensätzen a² = c · p und b² = c · q der Satz des Pythagoras folgt.
Hinweis: Addiere die beiden Gleichungen.
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Musterlösung: Addiert man a² = c · p und b² = c · q, erhält man a² + b² = c · p + c · q = c · (p + q). Die beiden Hypotenusenabschnitte ergeben zusammen die Hypotenuse: p + q = c. Also ist a² + b² = c · c = c² — das ist der Satz des Pythagoras.
Zeige, dass die drei Zahlen n² − 1, 2n und n² + 1 für jede natürliche Zahl n ≥ 2 ein pythagoreisches Zahlentripel bilden, und gib das Tripel für n = 4 an.
Hinweis: Prüfe, ob (n² − 1)² + (2n)² = (n² + 1)² stimmt.
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Musterlösung: Links: (n² − 1)² + (2n)² = n⁴ − 2n² + 1 + 4n² = n⁴ + 2n² + 1. Rechts: (n² + 1)² = n⁴ + 2n² + 1. Beide Seiten sind gleich, also erfüllen die drei Zahlen immer a² + b² = c². Für n = 4 ergibt sich 15, 8, 17: 225 + 64 = 289 = 17².
Erkläre, den Fehler: Lisa prüft das Dreieck mit den Seiten 5 cm, 12 cm und 13 cm. Sie rechnet 5² + 13² = 194 und 12² = 144, also 194 ≠ 144, und schreibt: „nicht rechtwinklig“.
Hinweis: Welche Seite gehört allein auf die rechte Seite der Gleichung?
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Musterlösung: Lisa hat die falsche Seite als Hypotenuse genommen. Bei der Umkehrung muss c die längste Seite sein, hier 13 cm. Richtig ist: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Das Dreieck ist also doch rechtwinklig, der rechte Winkel liegt der 13-cm-Seite gegenüber.
Leite her, dass ein Würfel mit der Kantenlänge a die Raumdiagonale d = a · √3 hat, und begründe, warum sie länger ist als die Flächendiagonale.
Hinweis: Arbeite in zwei rechtwinkligen Dreiecken nacheinander.
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Musterlösung: In der Grundfläche gilt e² = a² + a² = 2a², also e = a · √2. Die Flächendiagonale e, die senkrechte Kante a und die Raumdiagonale d bilden ein rechtwinkliges Dreieck: d² = e² + a² = 2a² + a² = 3a², also d = a · √3. Da √3 > √2 ist, ist d länger als e — d ist sogar die Hypotenuse zu e.
Beschreibe, zwei verschiedene Konstruktionen einer Strecke der Länge √20 cm und begründe jeweils, warum sie stimmt.
Hinweis: Suche Zahlen, deren Quadrate zusammen 20 ergeben — oder ein Produkt, das 20 ergibt.
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Musterlösung: Weg 1: Da 20 = 4 + 16 = 2² + 4² ist, zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 2 cm und 4 cm. Seine Hypotenuse ist √(4 + 16) cm = √20 cm. Weg 2: Man legt p = 4 cm und q = 5 cm auf einer Geraden aneinander, zeichnet den Thaleskreis über der Gesamtstrecke und errichtet im Teilungspunkt die Senkrechte. Sie trifft den Kreis in C, die Höhe ist nach dem Höhensatz h = √(4 · 5) cm = √20 cm.
Untersuche, ob es einen Quader gibt, dessen Kanten ganzzahlige Zentimeterlängen haben und dessen Raumdiagonale genau 3 cm lang ist.
Hinweis: Gesucht sind drei natürliche Zahlen mit a² + b² + c² = 9.
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Musterlösung: Für die Raumdiagonale gilt d² = a² + b² + c² = 9. Als Quadrate kommen nur 1 und 4 in Frage (9 allein würde zwei Kanten 0 cm lang machen). Die Zerlegung 1 + 4 + 4 = 9 passt: Ein Quader mit den Kanten 1 cm, 2 cm und 2 cm hat die Raumdiagonale √9 cm = 3 cm. Es gibt ihn also.
Beurteile, ob ein Kleiderschrank (2,00 m hoch, 60 cm tief), der liegend zusammengebaut wurde, im Zimmer mit 2,10 m Deckenhöhe aufgerichtet werden kann.
Hinweis: Beim Aufkippen dreht sich der Schrank um eine Kante. Welche Strecke muss unter die Decke passen?
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Musterlösung: Beim Aufrichten erreicht der Schrank kurz die Höhe seiner Seitenwand-Diagonale: d = √(200² + 60²) cm = √(40000 + 3600) cm = √43600 cm ≈ 208,8 cm. Das ist weniger als 210 cm. Der Schrank lässt sich also aufrichten — mit nur gut 1 cm Luft. Eine Deckenlampe oder Stuck könnte trotzdem stören.