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Übung — AFB II

Leiter, Display, Drachenschnur: Hier musst du das rechtwinklige Dreieck erst selbst entdecken, bevor du rechnen kannst.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus allen Unterkapiteln: erst das rechtwinklige Dreieck in der Situation finden, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Feuerwehr — Drehleiter am Haus
AFB II

Eine Drehleiter ist 30 m lang ausgefahren. Ihr Drehpunkt sitzt 2,5 m über dem Boden, der Leiterfuß steht waagerecht 12 m von der Hauswand entfernt.

a) Wie hoch reicht die Leiter über dem Drehpunkt? b) In welcher Höhe über dem Boden liegt die Leiterspitze?

m
m
Ansatz: Leiter = Hypotenuse, 12 m waagerecht = Kathete. Gesucht ist die senkrechte Kathete — danach die Höhe des Drehpunkts addieren.
Rechenweg: h = √(30² − 12²) = √(900 − 144) = √756 ≈ 27,50 m; 27,50 m + 2,5 m
Lösung: a) ≈ 27,50 m b) ≈ 30,0 m
Vollständige Lösung
Die Leiter reicht √756 m ≈ 27,50 m über den Drehpunkt, die Spitze liegt also etwa 27,50 m + 2,50 m ≈ 30,0 m über dem Boden. Hinweis: Den Drehpunkt vergessen viele — die Rechnung beginnt nicht am Boden.
A2
Smartphone — Display in Zoll
AFB II

Ein Smartphone hat eine Bildschirmdiagonale von 6,1 Zoll (1 Zoll = 2,54 cm). Das Display ist hochkant 7,1 cm breit.

a) Rechne die Diagonale in cm um. b) Wie hoch ist das Display? (zwei Nachkommastellen)

cm
cm
Ansatz: Erst Zoll in cm umrechnen. Die Diagonale ist die Hypotenuse, Breite und Höhe sind die Katheten.
Rechenweg: d = 6,1 · 2,54 cm = 15,494 cm; h = √(15,494² − 7,1²) = √(240,06 − 50,41) = √189,65
Lösung: a) ≈ 15,49 cm b) ≈ 13,77 cm
Vollständige Lösung
d = 6,1 · 2,54 cm ≈ 15,49 cm. Höhe h = √(15,494² − 7,1²) cm ≈ √189,65 cm ≈ 13,77 cm. Das Display ist etwa 13,77 cm hoch. Hinweis: Mit dem ungerundeten Wert 15,494 weiterrechnen, erst am Ende runden.
A3
Abkürzung über den Sportplatz
AFB II

Ein rechteckiger Sportplatz ist 80 m lang und 60 m breit. Mia läuft nicht außen herum, sondern quer über den Platz von einer Ecke zur gegenüberliegenden.

a) Wie lang ist ihr Weg quer über den Platz? b) Wie viele Meter spart sie gegenüber dem Weg außen entlang?

m
m
Ansatz: Der Weg quer ist die Diagonale des Rechtecks — sie ist die Hypotenuse zu den Seiten 80 m und 60 m.
Rechenweg: d = √(80² + 60²) = √(6400 + 3600) = √10000; außen: 80 m + 60 m = 140 m
Lösung: a) 100 m b) 40 m
Vollständige Lösung
Quer über den Platz: d = √10000 m = 100 m. Außen herum: 140 m. Mia spart 140 m − 100 m = 40 m. Hinweis: 80, 60, 100 ist das Tripel 3, 4, 5 mal 20 — die Wurzel geht glatt auf.
A4
Giebel eines Gartenhauses
AFB II

Die Giebelwand eines Gartenhauses ist ein gleichschenkliges Dreieck: Sie ist unten 8 m breit, die beiden Dachsparren sind je 5 m lang.

a) Wie hoch ist der Giebel? b) Wie groß ist die Giebelfläche?

m
m²
Ansatz: Die Höhe halbiert die Breite: rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 5 m und Kathete 4 m.
Rechenweg: h = √(5² − 4²) = √9 = 3 m; A = ½ · 8 m · 3 m
Lösung: a) 3 m b) 12 m²
Vollständige Lösung
Mit der halben Breite 4 m: h = √(25 − 16) m = 3 m. Giebelfläche A = ½ · 8 m · 3 m = 12 m². Hinweis: Wer mit der ganzen Breite 8 m rechnet, bekommt √(25 − 64) — eine Wurzel aus einer negativen Zahl.
A5
Verkehrsschild — gleichseitiges Dreieck
AFB II

Ein Warnschild ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 90 cm.

a) Wie hoch ist das Schild? (zwei Nachkommastellen) b) Wie groß ist seine Fläche? (eine Nachkommastelle)

cm
cm²
Ansatz: Die Höhe halbiert eine Seite: Hypotenuse 90 cm, Kathete 45 cm. Danach A = ½ · g · h.
Rechenweg: h = √(90² − 45²) = √6075 ≈ 77,94 cm (oder h = 45 · √3); A = ½ · 90 · 77,94
Lösung: a) ≈ 77,94 cm b) ≈ 3507,4 cm²
Vollständige Lösung
h = √(8100 − 2025) cm = √6075 cm ≈ 77,94 cm. A = ½ · 90 cm · 77,94 cm ≈ 3507,4 cm². Hinweis: Kontrolle mit der Merkformel h = a/2 · √3 = 45 · √3.
A6
Umzugskarton — passt die Gardinenstange?
AFB II

Ein Umzugskarton ist 40 cm lang, 30 cm breit und 20 cm hoch.

a) Wie lang ist die Diagonale des Kartonbodens? b) Wie lang darf eine Stange höchstens sein, damit sie schräg in den Karton passt? (zwei Nachkommastellen)

cm
cm
Ansatz: Erst die Bodendiagonale e aus Länge und Breite, dann die Raumdiagonale aus e und der Höhe.
Rechenweg: e = √(40² + 30²) = √2500 = 50 cm; d = √(50² + 20²) = √2900
Lösung: a) 50 cm b) ≈ 53,85 cm
Vollständige Lösung
e = 50 cm. d = √(2500 + 400) cm = √2900 cm ≈ 53,85 cm. Eine 55 cm lange Stange passt also nicht hinein. Hinweis: Die Raumdiagonale ist die längste Strecke im Quader.
A7
Drachensteigen
AFB II

Die Drachenschnur ist 50 m lang und straff gespannt. Lukas hält sie in 1,2 m Höhe. Der Drachen steht genau über einem Punkt, der 30 m waagerecht von Lukas entfernt ist.

a) Wie hoch steht der Drachen über Lukas’ Hand? b) Wie hoch steht der Drachen über dem Boden?

m
m
Ansatz: Schnur = Hypotenuse, 30 m waagerecht = Kathete. Danach die Handhöhe addieren.
Rechenweg: h = √(50² − 30²) = √1600 = 40 m; 40 m + 1,2 m
Lösung: a) 40 m b) 41,2 m
Vollständige Lösung
h = √(2500 − 900) m = 40 m über der Hand, also 41,2 m über dem Boden. Hinweis: Durchhang der Schnur und Wind werden im Modell vernachlässigt.
A8
Seilrutsche im Klettergarten
AFB II

Eine Seilrutsche startet auf einer Plattform in 12 m Höhe und endet an einem Pfosten in 2 m Höhe. Waagerecht liegen 45 m zwischen Start und Ziel.

a) Welchen Höhenunterschied überwindet die Rutsche? b) Wie lang ist das Seil mindestens? (zwei Nachkommastellen)

m
m
Ansatz: Das rechtwinklige Dreieck hat die Katheten „waagerechter Abstand“ und „Höhenunterschied“ — nicht die ganze Plattformhöhe.
Rechenweg: Δh = 12 m − 2 m = 10 m; s = √(45² + 10²) = √2125
Lösung: a) 10 m b) ≈ 46,10 m
Vollständige Lösung
Δh = 10 m. s = √(2025 + 100) m = √2125 m ≈ 46,10 m. Hinweis: Mit 12 m statt 10 m käme √2169 ≈ 46,57 m heraus — das Seil wäre zu lang geplant.
A9
Halbrunder Torbogen — Höhensatz
AFB II

Ein Torbogen hat die Form eines Halbkreises mit 10 m Spannweite. Jeder Punkt auf dem Bogen bildet mit den beiden Fußpunkten einen rechten Winkel (Thales).

a) Wie hoch ist der Bogen 2 m vom linken Fußpunkt entfernt? b) Wie hoch ist er 1 m vom Fußpunkt entfernt?

m
m
Ansatz: Die Senkrechte vom Bogen zum Boden ist eine Höhe im Thalesdreieck. Sie teilt die Spannweite in p und q.
Rechenweg: h = √(2 · 8) = √16 = 4 m; h = √(1 · 9) = √9 = 3 m
Lösung: a) 4 m b) 3 m
Vollständige Lösung
Mit dem Höhensatz h² = p · q: bei 2 m ist q = 8 m, also h = √16 m = 4 m; bei 1 m ist q = 9 m, also h = 3 m. Hinweis: Der Höhensatz hilft überall, wo ein Halbkreis im Spiel ist.
A10
Dachgiebel mit rechtem Winkel am First — Kathetensatz
AFB II

Ein Giebel ist unten 12,5 m breit. Die beiden Dachsparren treffen sich am First im rechten Winkel. Das Lot vom First trifft den Boden 4,5 m von der rechten Hauskante entfernt.

a) Wie lang ist der rechte Sparren? b) Wie lang ist der linke Sparren?

m
m
Ansatz: Die Breite ist die Hypotenuse c. Das Lot teilt sie in p = 4,5 m und q = 8 m. Kathetensatz: a² = c · p, b² = c · q.
Rechenweg: a = √(12,5 · 4,5) = √56,25 = 7,5 m; b = √(12,5 · 8) = √100 = 10 m
Lösung: a) 7,5 m b) 10 m
Vollständige Lösung
q = 12,5 m − 4,5 m = 8 m. Rechter Sparren √(12,5 · 4,5) m = 7,5 m, linker Sparren √(12,5 · 8) m = 10 m. Probe: 7,5² + 10² = 156,25 = 12,5². Hinweis: Die Probe mit dem Pythagoras kostet eine Minute und findet fast jeden Rechenfehler.