Die Hypotenuse berechnen
Beide Katheten sind bekannt, die Hypotenuse \(c\) ist gesucht.
- Ansatz:\(c^2=a^2+b^2\) (2.1.1).
- Wurzel ziehen:\(c=\sqrt{a^2+b^2}\) — nur die positive Lösung, denn \(c\) ist eine Länge.
- Beispiel:\(a=6\,\mathrm{cm}\), \(b=8\,\mathrm{cm}\): \(c=\sqrt{36+64}\,\mathrm{cm}=\sqrt{100}\,\mathrm{cm}=10\,\mathrm{cm}\).
- GTR:SHIFT x² für \(\sqrt{\phantom{x}}\), dann 6 x² + 8 x² EXE → \(10\).
- Probe:\(c\) ist länger als jede Kathete und kürzer als \(a+b\).
Eine Kathete berechnen
Jetzt sind die Hypotenuse \(c\) und eine Kathete bekannt. Man stellt den Satz nach der gesuchten Kathete um.
Herleitung:
- Beispiel:\(c=13\,\mathrm{cm}\), \(b=12\,\mathrm{cm}\): \(a=\sqrt{169-144}\,\mathrm{cm}=\sqrt{25}\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}\).
- CAS:
solve(x^2+12^2=13^2,x)→x=−5 or x=5; als Länge zählt nur \(5\,\mathrm{cm}\).
Wähle, welche Seite gesucht ist, und stelle die beiden bekannten Seiten ein. Das Dreieck wird maßstäblich gezeichnet und die Rechnung läuft mit.
Halte fest: Für die Hypotenuse werden die Quadrate addiert, für eine Kathete wird vom Hypotenusenquadrat subtrahiert.
Hypotenuse: \(c=\sqrt{a^2+b^2}\) · Kathete: \(a=\sqrt{c^2-b^2}\)
Allgemeine Hinweise
Minus bei der Kathete
\(a=\sqrt{c^2+b^2}\) wäre länger als die Hypotenuse — das kann nicht stimmen.
Keine Wurzel aus Summanden
\(\sqrt{36+64}=10\), aber \(\sqrt{36}+\sqrt{64}=14\). Erst addieren, dann die Wurzel ziehen.
Gleiche Einheiten
Vor dem Rechnen alles in dieselbe Einheit umwandeln: \(80\,\mathrm{cm}\) und \(1{,}5\,\mathrm{m}\) als \(0{,}8\,\mathrm{m}\) und \(1{,}5\,\mathrm{m}\).