MINT lernen

Sachaufgaben rund um Pythagoras

Ein Weihnachtsbaum im Flur und eine Seilbahn am Felsen: Zwei Alltagsaufgaben, in denen der rechte Winkel erst gefunden werden muss.

1

Der Weihnachtsbaum im Treppenhaus

AFB I–II

Familie Kaya hat einen 2,9 m langen Weihnachtsbaum gekauft. Er soll durch einen Hausflur getragen werden, der 2,4 m hoch ist. Man kann den Baum schräg halten — der Flur ist lang genug.

Baum schräg im Flur
waagerecht ?2,4 mBaum 2,9 m
Skizze nicht maßstäblich
  1. Beschreibe, wo in dieser Situation das rechtwinklige Dreieck liegt.
  2. Berechne die waagerechte Länge, die der Baum im Flur mindestens braucht.
  3. Beurteile, ob der Baum in einen Aufzug passt, dessen Kabine 2,4 m hoch, 1,5 m tief und 1,1 m breit ist.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Stell dir den Baum schräg vor, mit der Spitze an der Decke.
Hinweis zu Aufgabe b)
Kathete gesucht.
Hinweis zu Aufgabe c)
Die längste Strecke in der Kabine ist die Raumdiagonale.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der Baum ist die Hypotenuse, die Flurhöhe (2,4 m) eine Kathete, die waagerechte Strecke am Boden die andere. Der rechte Winkel liegt zwischen Boden und Wand.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

x = √(2,9² − 2,4²) = √(8,41 − 5,76) = √2,65 ≈ 1,63 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

d = √(2,4² + 1,5² + 1,1²) = √(5,76 + 2,25 + 1,21) = √9,22 ≈ 3,04 m > 2,9 m. Schräg von einer unteren Ecke zur gegenüberliegenden oberen Ecke passt der Baum hinein — allerdings nur knapp, Zweige werden gebogen.

2

Die Seilbahn am Kletterfelsen

AFB II–III

Am Kletterfelsen soll eine Materialseilbahn gebaut werden. Die Talstation liegt auf 420 m Höhe, die Bergstation auf 505 m. Auf der Karte (Maßstab 1 : 5000) sind die Stationen 4,2 cm voneinander entfernt. Das Seil darf höchstens 30 % Steigung haben, und man braucht 8 % Seilzugabe für den Durchhang.

  1. Ermittle die waagerechte Entfernung und den Höhenunterschied.
  2. Bestimme die Seillänge einschließlich Zugabe.
  3. Überprüfe, ob die Steigung eingehalten wird, und nimm zur Planung Stellung.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Karte: 1 cm entspricht 5000 cm = 50 m.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erst die gerade Strecke, dann 8 % dazu.
Hinweis zu Aufgabe c)
Steigung = Höhenunterschied : waagerechte Entfernung.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

waagerecht: 4,2 · 50 m = 210 m; Höhenunterschied: 505 m − 420 m = 85 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

s = √(210² + 85²) = √(44100 + 7225) = √51325 ≈ 226,55 m; mit Zugabe 226,55 · 1,08 ≈ 244,7 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

85 : 210 ≈ 0,405 = 40,5 % — mehr als erlaubt. Die Planung muss geändert werden: z. B. eine Talstation weiter entfernt wählen (für 30 % wären mindestens 85 : 0,3 ≈ 283 m waagerecht nötig) oder eine Zwischenstation einbauen.