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Pythagoras in Figuren und Körpern

Eine Zeltstange und ein Stab im Aquarium: Wo das rechtwinklige Dreieck versteckt ist, entscheidet über die Rechnung.

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Die Zeltstange

AFB I–II

Ein Zelt hat die Form eines Dreiecksprismas. Die dreieckige Vorderseite ist gleichschenklig: unten 2,4 m breit, die beiden schrägen Planen sind je 1,5 m lang. Das Zelt ist 2 m lang.

  1. Skizziere die Vorderseite und zeichne das rechtwinklige Dreieck zur Höhe ein.
  2. Berechne die Länge der senkrechten Zeltstange in der Mitte.
  3. Ermittle die Stoffmenge für die beiden Dreiecksseiten und die beiden Dachflächen (ohne Boden).

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Höhe halbiert die Grundseite.
Hinweis zu Aufgabe b)
Hypotenuse 1,5 m, eine Kathete 1,2 m.
Hinweis zu Aufgabe c)
Dreieck ½ · g · h; Dachfläche: Rechteck 1,5 m × 2 m.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Gleichschenkliges Dreieck, Höhe von der Spitze senkrecht auf die Grundseite; Teildreieck mit Katheten 1,2 m und h, Hypotenuse 1,5 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

h = √(1,5² − 1,2²) = √(2,25 − 1,44) = √0,81 = 0,9 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Dreiecke: 2 · ½ · 2,4 · 0,9 = 2,16 m²; Dachflächen: 2 · 1,5 · 2 = 6 m²; zusammen 8,16 m².

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Der Stab im Aquarium

AFB II–III

Ein Aquarium ist innen 80 cm lang, 35 cm breit und 40 cm hoch. Ein Holzstab von 90 cm Länge soll für eine Dekoration so hineingelegt werden, dass er vollständig unter Wasser ist. Luca sagt: „Der Stab ist länger als jede Kante — er passt nie hinein.“

Aquarium im Schrägbild
80 cm35 cm40 cmd
Skizze nicht maßstäblich
  1. Bestimme die Diagonale des Bodens und die Raumdiagonale des Aquariums.
  2. Widerlege Lucas Aussage.
  3. Untersuche, ob der Stab auch dann passt, wenn das Wasser nur 30 cm hoch steht.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Erst e aus Länge und Breite, dann d aus e und Höhe.
Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche die Stablänge mit der längsten Strecke im Aquarium.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Höhe steht jetzt für die Raumdiagonale zur Verfügung?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

e = √(80² + 35²) = √7625 ≈ 87,32 cm; d = √(7625 + 1600) = √9225 ≈ 96,05 cm.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Raumdiagonale ist mit etwa 96 cm länger als der Stab (90 cm). Der Stab passt also schräg hinein, obwohl er länger ist als jede einzelne Kante.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

d = √(7625 + 30²) = √8525 ≈ 92,33 cm > 90 cm — der Stab passt auch dann noch vollständig unter Wasser, allerdings nur knapp schräg durch den ganzen Raum.