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Figuren und Körper

Wie lang ist die längste Stange, die gerade noch in einen Karton passt?

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Rechtwinklige Dreiecke in Figuren

In vielen Figuren ist kein rechtwinkliges Dreieck zu sehen — man erzeugt es mit einer Hilfslinie.

  • Vorgehen:Diagonale oder Höhe einzeichnen, rechten Winkel markieren, Hypotenuse suchen.
  • Rechteck:Diagonale \(d=\sqrt{l^2+b^2}\).
  • Quadrat:\(d=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2\).
  • Gleichschenklig:die Höhe halbiert die Basis: \(h=\sqrt{s^2-\left(\tfrac g2\right)^2}\).
  • Gleichseitig:Seite \(a\), die Höhe halbiert eine Seite — Teildreieck mit \(a\), \(\tfrac a2\) und \(h\).

Herleitung:

\(\textcolor{#c63d3d}{h^2}+\left(\tfrac a2\right)^2=a^2\)
\(-\,\tfrac{a^2}{4}\)
Pythagoras im halben gleichseitigen Dreieck, Hypotenuse \(a\).
\(\textcolor{#c63d3d}{h^2}=\tfrac34\,a^2\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
\(a^2-\tfrac14a^2=\tfrac34a^2\).
\(\textcolor{#c63d3d}{h}=\tfrac a2\sqrt3\)
Ergebnis
\(\sqrt{\tfrac34}=\tfrac{\sqrt3}{2}\).
Merke

Quadrat: \(d=a\sqrt2\)  ·  gleichseitiges Dreieck: \(h=\tfrac a2\sqrt3\)

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Rechtwinklige Dreiecke in Körpern

Die Raumdiagonale \(d\) eines Quaders verbindet zwei gegenüberliegende Ecken quer durch den Körper. Man kommt in zwei Schritten zu ihr.

  • 1. Schritt:Flächendiagonale \(e\) der Grundfläche: \(e^2=a^2+b^2\).
  • 2. Schritt:\(e\), die Höhe \(c\) und \(d\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck, das senkrecht im Quader steht.

Herleitung:

\(\textcolor{#7c5fb5}{d^2}=\textcolor{#2c5fb5}{e^2}+c^2\)
\(e^2=a^2+b^2\)
Pythagoras im Diagonaldreieck, rechter Winkel unten an der Kante \(c\).
\(\textcolor{#7c5fb5}{d^2}=a^2+b^2+c^2\)
\(\sqrt{\phantom{x}}\)
Die Flächendiagonale wird gar nicht selbst gebraucht.
\(\textcolor{#7c5fb5}{d}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Ergebnis
Würfel mit \(a=b=c\): \(d=\sqrt{3a^2}=a\sqrt3\).

Tippe im Schrägbild auf eines der beiden Dreiecke (oder wähle es unten). Rechts steht dasselbe Dreieck in wahrer Gestalt — vergleiche die Winkel.

Schrägbild und wahre Gestalt

Halte fest: Im Schrägbild sehen rechte Winkel oft schief aus. Gerechnet wird im Dreieck in wahrer Gestalt — erst \(e\), dann \(d\).

Merke

Raumdiagonale im Quader: \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

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Allgemeine Hinweise

Halbe Seite nicht vergessen

Im gleichseitigen und gleichschenkligen Dreieck ist die Kathete \(\tfrac a2\) bzw. \(\tfrac g2\) — nicht die ganze Seite.

Nicht im Schrägbild messen

Die schräg gezeichneten Kanten sind verkürzt. Längen immer aus den gegebenen Maßen rechnen.

Teildreieck herauszeichnen

Das gesuchte Dreieck daneben noch einmal in wahrer Gestalt skizzieren und die bekannten Seiten eintragen.

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