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Den Satz des Pythagoras entdecken

Ein Gartenbeet und ein Beweis aus Pappe: Zwei Aufgaben, in denen die Quadrate an den Seiten die Hauptrolle spielen.

1

Pflasterquadrate am Dreiecksbeet

AFB I–II

Ein Gartenbeet hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Die beiden Seiten am rechten Winkel sind 1,2 m und 1,6 m lang, die dritte Seite ist 2 m lang. An jede Seite des Beets wird eine quadratische Fläche gepflastert, deren Seite genauso lang ist wie die Beetseite.

Beet mit drei Pflasterquadraten
1,2 m1,6 m2 m
Skizze nicht maßstäblich
  1. Gib an, welche Beetseite die Hypotenuse ist, und begründe kurz.
  2. Berechne den Flächeninhalt jedes der drei Pflasterquadrate.
  3. Überprüfe mit deinen Ergebnissen den Satz des Pythagoras.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Wo liegt der rechte Winkel? Welche Seite liegt ihm gegenüber?
Hinweis zu Aufgabe b)
Fläche eines Quadrats: Seite mal Seite.
Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleiche die Summe der beiden kleinen Quadrate mit dem großen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die 2-m-Seite ist die Hypotenuse, denn sie liegt dem rechten Winkel gegenüber (und ist die längste Seite).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

1,2² = 1,44 m²; 1,6² = 2,56 m²; 2² = 4 m².

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

1,44 m² + 2,56 m² = 4 m² — genau die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse. Der Satz des Pythagoras ist bestätigt.

2

Lenas Beweis mit vier Dreiecken

AFB II–III

Lena hat vier gleiche rechtwinklige Dreiecke aus Pappe mit den Katheten 5 cm und 12 cm. Sie legt sie so in ein Quadrat mit der Seitenlänge 17 cm, dass in der Mitte ein schräges Quadrat frei bleibt. Danach legt sie die Dreiecke um, sodass zwei kleinere Quadrate frei bleiben.

Lena behauptet: „Das klappt nur, weil 5, 12 und 13 so schöne Zahlen sind.“

  1. Ermittle den Flächeninhalt des großen Quadrats und den der vier Dreiecke zusammen.
  2. Bestimme die freie Fläche und daraus die Länge der Hypotenuse.
  3. Beurteile Lenas Behauptung.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Großes Quadrat: 17 · 17. Ein Dreieck: ½ · 5 · 12.
Hinweis zu Aufgabe b)
Freie Fläche = großes Quadrat minus Dreiecke. Die freie Fläche ist c².
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne dieselbe Überlegung mit Buchstaben a und b statt mit Zahlen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Großes Quadrat: 17² = 289 cm². Vier Dreiecke: 4 · ½ · 5 · 12 = 120 cm².

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Frei: 289 − 120 = 169 cm² = c², also c = √169 = 13 cm. Nach dem Umlegen: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 cm² — dieselbe freie Fläche.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist falsch. Mit beliebigen Katheten a und b gilt (a + b)² = c² + 4 · ½ab, also a² + 2ab + b² = c² + 2ab und damit a² + b² = c². Der Beweis funktioniert für jedes rechtwinklige Dreieck — auch wenn c keine ganze Zahl ist (z. B. a = b = 1, c = √2).