Drei Quadrate am rechtwinkligen Dreieck
In einem rechtwinkligen Dreieck haben die Seiten eigene Namen.
- Rechter Winkel:hier bei \(C\), also \(\gamma=90^\circ\).
- Katheten:\(a\) und \(b\) — die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden.
- Hypotenuse:\(c\) — liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite.
- Quadrate:über jeder Seite ein Quadrat mit dem Flächeninhalt \(a^2\), \(b^2\) und \(c^2\).
Tippe ein gelbes Dreieck an, um es umzulegen (oder Tab und Enter). Beobachte, welche Fläche im großen Quadrat frei bleibt.
Halte fest: Die vier Dreiecke nehmen immer gleich viel Platz weg. Also ist das freie Quadrat \(c^2\) genauso groß wie die beiden freien Quadrate \(a^2\) und \(b^2\) zusammen.
Der Satz des Pythagoras
Was das Umlegen zeigt, lässt sich auch rechnen: Das große Quadrat hat die Seite \(a+b\).
Herleitung:
- In Worten:Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.
- Gilt nur:im rechtwinkligen Dreieck.
Satz des Pythagoras: \(a^2+b^2=c^2\) (\(c\) Hypotenuse)
Allgemeine Hinweise
Erst die Hypotenuse suchen
Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber — sie steht allein auf einer Seite der Gleichung, egal wie sie heißt: bei \(\beta=90^\circ\) gilt \(a^2+c^2=b^2\).
Quadrate, nicht Seiten
\(a+b=c\) stimmt nie: Bei \(3\,\mathrm{cm}\) und \(4\,\mathrm{cm}\) ist \(c=5\,\mathrm{cm}\), nicht \(7\,\mathrm{cm}\).
Skizze mit Markierung
Den rechten Winkel mit Bogen und Punkt einzeichnen und \(c\) farbig nachziehen — dann steht die Gleichung fast von selbst da.