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Pythagoras bei Konstruktionen

Zehn Aufgaben zum Konstruieren von Wurzelstrecken — mit Schnecke, Summe, Differenz und Höhensatz.

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Stimmt’s? — Wurzeln konstruieren
AFB I

Fünf Behauptungen zur Konstruktion von Wurzelstrecken.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Konstruieren heißt: die Zahl unter der Wurzel als Summe (oder Differenz) von Quadraten schreiben.
A2
Welche Katheten liefern √n?
AFB I

Welche Kathetenpaare ergeben eine Hypotenuse von √20 cm?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Gesucht sind a² + b² = 20: 4 + 16, 16 + 4 oder 10 + 10. Die Falle „2 und 18“ addiert die Zahlen statt ihrer Quadrate.
A3
Konstruktion von √2 auf dem Zahlenstrahl
AFB I

Bringe die Schritte in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Zahlenstrahl mit Einheit 1 cm zeichnen.
2Bei der 1 eine Senkrechte der Länge 1 cm errichten.
3Das Ende der Senkrechten mit 0 verbinden — diese Strecke ist √2 cm lang.
4Zirkel in 0 einstechen und auf die Länge dieser Strecke öffnen.
5Kreisbogen bis zum Zahlenstrahl ziehen und den Punkt mit √2 beschriften.
Der Zirkel überträgt die schräge Strecke auf den Zahlenstrahl — deshalb muss er in 0 eingestochen werden, nicht in 1.
A4
Blitzrechnung: Wurzelschnecke
AFB I

Nach wie vielen Dreiecken der Wurzelschnecke (Start: Katheten 1 und 1) ist die Hypotenuse genau 5 cm lang?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
5 = √25. Das erste Dreieck liefert √2, das n-te liefert √(n + 1) — also n + 1 = 25 und n = 24.
A5
Rechenkette: √7 als Kathete
AFB II

Gesucht ist eine Strecke der Länge √7 cm. Man zeichnet eine Hypotenuse von 4 cm und eine Kathete von 3 cm.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. Hypotenuse² = cm²
  2. Kathete² = cm²
  3. zweite Kathete² = cm²
  4. zweite Kathete ≈ (zwei Nachkommastellen) cm
√7 lässt sich nicht als Summe zweier Quadratzahlen schreiben (7 = 4 + 3 = 1 + 6 …) — aber als Differenz: 16 − 9.
A6
Kreuztabelle: Summe oder Differenz?
AFB II

Wie konstruierst du die Strecke am einfachsten — als Hypotenuse (Summe zweier Quadrate) oder als Kathete (Differenz)?

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
Streckeals Hypotenuseals Kathete
√5 cm
√8 cm
√15 cm
√34 cm
√11 cm
5 = 1 + 4, 8 = 4 + 4, 34 = 9 + 25 — Summen. 15 = 16 − 1 und 11 = 36 − 25 lassen sich nicht als Summe zweier Quadratzahlen schreiben, wohl aber als Differenz.
A7
Konstruktionsbeschreibung zusammenbauen
AFB II

Baue die Konstruktion von √10 cm mit dem Höhensatz zusammen — zwei Bausteine sind Fallen.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die Senkrechte gehört in den Teilungspunkt zwischen p und q, nicht in den Kreismittelpunkt — sonst misst man den Radius 5,5 cm.
A8
Tims Konstruktion
AFB II

Tim soll eine Strecke von √18 cm konstruieren.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Zerlegen → Katheten bestimmen → rechter Winkel exakt → Messung als Probe.
    A9
    Welches Verfahren passt?
    AFB III

    Sortiere die Strecken nach dem Verfahren, das am schnellsten zum Ziel führt.

    Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
    1Katheten gegeben (Summe)
    2Hypotenuse und Kathete (Differenz)
    3Höhensatz (Produkt)
    Der Höhensatz funktioniert immer: √n = √(n · 1). Summe und Differenz sind oft kürzer, klappen aber nicht bei jeder Zahl.
    A10
    Wie genau wird die Strecke?
    AFB III

    Beim Konstruieren schleichen sich Zeichenfehler ein. Schätze ein, wie groß der Fehler am Ende ist — ohne zu rechnen.

    Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = sehr klein, 2 = klein, 3 = mittel, 4 = groß, 5 = sehr groß. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
    1 = sehr klein5 = sehr groß
    √2 mit einem einzigen Dreieck
    √17 mit der kompletten Wurzelschnecke (16 Dreiecke)
    √17 mit einem Dreieck aus 1 cm und 4 cm
    √50 mit der Wurzelschnecke
    √10 mit dem Höhensatz (p = 10 cm, q = 1 cm)
    Jedes Dreieck der Schnecke übernimmt die Fehler des vorigen — lange Ketten werden ungenau. Ein einziges passendes Dreieck ist fast immer besser.