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Pythagoras bei Konstruktionen

Punkte auf dem Zahlenstrahl und eine Schnecke fürs Plakat: Zwei Aufgaben, in denen Wurzeln gezeichnet statt gerechnet werden.

1

Wurzeln auf dem Zahlenstrahl

AFB I–II

Im Heft soll ein Zahlenstrahl von 0 bis 5 mit der Einheit 2 cm gezeichnet werden. Darauf sollen die Punkte √5 und √8 exakt markiert werden.

Dreieck für √5 (Einheit 2 cm)
2 Einheiten1 Einheit√5
Katheten in Einheiten des Zahlenstrahls
  1. Gib für √5 und √8 je zwei Katheten (in Einheiten) an.
  2. Zeichne den Zahlenstrahl und konstruiere beide Punkte.
  3. Überprüfe die Lage deiner Punkte mit dem Taschenrechner.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Schreibe 5 und 8 als Summe zweier Quadratzahlen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Dreieck auf dem Zahlenstrahl aufsetzen, Hypotenuse mit dem Zirkel um 0 übertragen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Einheit 2 cm beachten.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

5 = 1² + 2² → Katheten 1 und 2 Einheiten; 8 = 2² + 2² → Katheten 2 und 2 Einheiten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Für √5: bei 2 eine Senkrechte der Länge 1 Einheit (2 cm), Ende mit 0 verbinden, Bogen um 0. Für √8: bei 2 eine Senkrechte von 2 Einheiten (4 cm). Die Punkte liegen bei etwa 2,24 und 2,83 Einheiten (4,47 cm und 5,66 cm vom Nullpunkt).

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

√5 ≈ 2,236 → 4,47 cm; √8 ≈ 2,828 → 5,66 cm vom Nullpunkt. Abweichungen von 1 mm sind Zeichenungenauigkeit.

2

Das Plakat mit der Wurzelschnecke

AFB II–III

Die Klasse 9b gestaltet ein Plakat mit einer Wurzelschnecke. Die kurzen Katheten sollen 5 cm lang sein. Das Plakat ist 60 cm breit, die Schnecke soll mittig liegen. Mia will die Schnecke bis √36 zeichnen, Ben nur bis √20.

  1. Berechne die Länge der längsten Hypotenuse für Mias und für Bens Plan.
  2. Untersuche, ob die Schnecken auf das Plakat passen.
  3. Beurteile die beiden Pläne unter dem Gesichtspunkt der Zeichengenauigkeit.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Einheit ist 5 cm: √n Einheiten = √n · 5 cm.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Schnecke dreht sich um den Mittelpunkt — in jede Richtung reicht sie höchstens so weit wie die längste Hypotenuse.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wie viele Dreiecke brauchen Mia und Ben?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Mia: √36 · 5 cm = 30 cm. Ben: √20 · 5 cm ≈ 22,36 cm.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Um den Mittelpunkt ist nach links und rechts je 30 cm Platz. Bens Schnecke (höchstens 22,36 cm) passt sicher, Mias Schnecke reicht bis zu 30 cm und stößt im ungünstigsten Fall genau an den Rand.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Mia braucht 35 Dreiecke, Ben 19. Jeder Zeichenfehler wird weitergegeben, Mias Schnecke wird deshalb deutlich ungenauer und passt zudem nur knapp. Bens Plan ist die bessere Wahl — oder Mia wählt kürzere Katheten (z. B. 4 cm).