Strecken konstruieren

\(\sqrt2\) hat unendlich viele Nachkommastellen — messen kann man es nicht. Konstruieren schon: als Hypotenuse eines Dreiecks.

• Start:Katheten \(1\,\mathrm{cm}\) und \(1\,\mathrm{cm}\) → Hypotenuse \(\sqrt{1+1}\,\mathrm{cm}=\sqrt2\,\mathrm{cm}\).
• Weiter:senkrecht an das Ende der Hypotenuse wieder \(1\,\mathrm{cm}\) anlegen.
• Neue Hypotenuse:verbindet den Mittelpunkt mit dem neuen Ende.

Herleitung:

Starte die Schnecke oder baue sie Schritt für Schritt. Der Zirkelbogen überträgt jede neue Hypotenuse auf den Zahlenstrahl.

Halte fest: Aus \(\sqrt n\) und \(1\) wird \(\sqrt{n+1}\). Bei \(\sqrt4\), \(\sqrt9\) und \(\sqrt{16}\) landet der Zirkel genau auf \(2\), \(3\) und \(4\).

Für eine einzelne Wurzel braucht man nicht die ganze Schnecke — ein passendes Dreieck genügt.

• Als Summe:\(13=4+9\) → Katheten \(2\,\mathrm{cm}\) und \(3\,\mathrm{cm}\), Hypotenuse \(\sqrt{13}\,\mathrm{cm}\).
• Als Differenz:\(7=16-9\) → Kathete \(3\,\mathrm{cm}\), Senkrechte im Endpunkt, Kreis mit \(4\,\mathrm{cm}\) um den anderen Endpunkt: die zweite Kathete ist \(\sqrt7\,\mathrm{cm}\).
• Mit dem Höhensatz:\(p=n\), \(q=1\) → \(h=\sqrt{n\cdot1}=\sqrt n\) (2.2.1).
• Übertragen:Zirkel in \(0\) einstechen, auf die Länge der Strecke öffnen, Bogen bis zum Zahlenstrahl.