Wissen und Reproduzieren
30 PunkteIn einem rechtwinkligen Dreieck ist c die Hypotenuse. Runde, wenn nötig, auf zwei Nachkommastellen.
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a) c = √(144 + 256) = √400 = 20 cm (2 P). b) b = √(625 − 49) = √576 = 24 cm (2 P). c) c = √(16 + 36) = √52 ≈ 7,21 cm (2 P).
Im Dreieck ABC liegt der rechte Winkel bei B.
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Gegenüber von B liegt b, also ist b die Hypotenuse: a² + c² = b², umgestellt b² − c² = a². Je richtig gewählter Gleichung 2 P, jede falsch gewählte kostet 2 P.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse c = 20 cm, der Abschnitt unter der Kathete a ist p = 5 cm. Runde auf zwei Nachkommastellen.
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a) q = c − p = 15 cm (1 P). b) h = √(5 · 15) = √75 ≈ 8,66 cm (2 P). c) a = √(20 · 5) = √100 = 10 cm (2 P). d) b = √(20 · 15) = √300 ≈ 17,32 cm (2 P).
Gegeben sind vier Seitentripel (in cm).
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49 + 576 = 625 = 25² ✓; 100 + 576 = 676 = 26² ✓; 36 + 81 = 117 ≠ 121; 144 + 256 = 400 ≠ 441. Je richtig gewähltem Tripel 2 P, jede Fehlwahl kostet 2 P.
Runde auf zwei Nachkommastellen.
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a) d = 8 · √2 ≈ 11,31 cm (2 P). b) h = √(144 − 36) = √108 = 6 · √3 ≈ 10,39 cm (2 P). c) A = ½ · 12 · 10,392 ≈ 62,35 cm² (2 P, Folgefehler aus b werden anerkannt).
Ein Würfel hat die Kantenlänge 4 cm. Runde auf zwei Nachkommastellen.
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d = √(4² + 4² + 4²) = √48 = 4 · √3 ≈ 6,93 cm (Ansatz 1 P, Rechnung 1 P, Ergebnis 1 P).
Zusammenhänge herstellen
45 PunkteEin Fahnenmast wird mit Stahlseilen gesichert. Jedes Seil ist in 6 m Höhe am Mast befestigt und 2,5 m vom Mastfuß entfernt im Boden verankert.
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a) s = √(6² + 2,5²) = √(36 + 6,25) = √42,25 = 6,5 m (Skizze/Ansatz 1 P, Rechnung 2 P). b) 4 · (6,5 m + 0,4 m) = 27,6 m (3 P).
Ein Karton ist 60 cm lang, 40 cm breit und 30 cm hoch. Runde auf zwei Nachkommastellen.
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a) e = √(3600 + 1600) = √5200 ≈ 72,11 cm (2 P). b) d = √(5200 + 900) = √6100 ≈ 78,10 cm (3 P). c) 80 cm > 78,10 cm — die Stange passt nicht (1 P).
Ein Fernseher hat eine Bildschirmdiagonale von 43 Zoll (1 Zoll = 2,54 cm). Breite und Höhe stehen im Verhältnis 16 : 9. Runde auf zwei Nachkommastellen.
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a) d = 43 · 2,54 cm = 109,22 cm (2 P). b) Ansatz Breite 16k, Höhe 9k: (16k)² + (9k)² = d² → 337k² = 109,22² → k ≈ 5,950 cm; Breite 16k ≈ 95,19 cm (3 P). c) Höhe 9k ≈ 53,55 cm (3 P).
Eine Einfahrt hat einen halbkreisförmigen Bogen mit 6 m Spannweite. Jeder Punkt auf dem Bogen bildet mit den beiden Fußpunkten ein rechtwinkliges Dreieck. Runde auf zwei Nachkommastellen.
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Höhensatz h² = p · q. a) h = √(1 · 5) = √5 ≈ 2,24 m (2 P). b) h = √(2 · 4) = √8 ≈ 2,83 m (2 P). c) Mittig fahrend liegen die Wagenkanten je 2 m vom Fußpunkt entfernt; dort ist der Bogen 2,83 m > 2,5 m hoch — der Wagen passt (2 P).
Eine Seilbahn überwindet auf 1,2 km waagerechter Strecke einen Höhenunterschied von 500 m.
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a) s = √(1,2² + 0,5²) km = √1,69 km = 1,3 km (Einheiten angleichen 1 P, Rechnung 2 P). b) t = 1300 m : 5 m/s = 260 s (2 P).
Die Giebelwand eines Schuppens ist ein gleichschenkliges Dreieck mit 10 m Basis und 7 m langen Schenkeln. Runde auf zwei Nachkommastellen.
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a) h = √(7² − 5²) = √24 ≈ 4,90 m — die Höhe halbiert die Basis (3 P). b) A = ½ · 10 · 4,899 ≈ 24,49 m² (3 P). c) u = 10 m + 2 · 7 m = 24 m (2 P).
Paul soll eine Strecke der Länge √13 cm konstruieren.
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4 + 9 = 13 ✓; √(13 · 1) = √13 ✓; 49 − 36 = 13 ✓; 1 + 9 = 10 ✗; 169 − 1 = 168 ✗. Je richtig gewählter Konstruktion 2 P, jede Fehlwahl kostet 2 P.
Verallgemeinern und Begründen
25 PunkteEine Tischlerin misst an einer Tischecke entlang der Kanten 45 cm und 60 cm, zwischen den beiden Messpunkten 76 cm.
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a) 45² + 60² = 2025 + 3600 = 5625 (1 P). b) 76² = 5776 (1 P). c) 5625 < 5776: Die Diagonale ist zu lang für einen rechten Winkel, der Winkel ist größer als 90° — stumpfwinklig (3 P, davon 2 P für die Begründung).
In einem rechtwinkligen Dreieck werden beide Katheten verdreifacht.
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a) (3a)² + (3b)² = 9(a² + b²) = 9c² → neue Hypotenuse 3c, Faktor 3 (2 P). b) ½ · 3a · 3b = 9 · ½ab, Faktor 9 (2 P).
Die Raumdiagonale eines Würfels ist 9 cm lang. Runde auf zwei Nachkommastellen.
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a) d² = 3a² → a² = 81 : 3 = 27 → a = √27 ≈ 5,20 cm (3 P). b) O = 6a² = 6 · 27 = 162 cm² — mit a² = 27 exakt weiterrechnen (3 P).
Die Zahlen n² − 1, 2n und n² + 1 bilden für jede natürliche Zahl n ≥ 2 ein pythagoreisches Zahlentripel.
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a) n = 6: 35, 12, 37 — Probe 1225 + 144 = 1369 = 37² (2 P). b) (n² − 1)² + (2n)² = (n² + 1)² gilt für alle n; mit (a, b, c) ist auch (ka, kb, kc) ein Tripel, da k² ausgeklammert wird; es gibt also unendlich viele; 3, 4, 5 zeigt, dass c ungerade sein kann (3 P).
Ein Schrank ist 2,00 m hoch und 65 cm tief. Er wurde liegend zusammengebaut und soll in einem Raum mit 2,10 m Deckenhöhe aufgestellt werden. Rechne in cm und runde auf eine Nachkommastelle.
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a) d = √(200² + 65²) = √(40000 + 4225) = √44225 ≈ 210,3 cm (3 P). b) Beim Kippen erreicht der Schrank kurz die Höhe seiner Diagonale: 210,3 cm > 210 cm — er stößt an die Decke (2 P). Hilfe: kippen über die schmale Seite oder erst im Stehen montieren.
Ergebnis
| Aufgabe | Thema | Punkte |
|---|
Notenschema
| Punkte | Note | Beurteilung |
|---|---|---|
| 92 – 100 P | 1 | sehr gut |
| 80 – 91 P | 2 | gut |
| 60 – 79 P | 3 | befriedigend |
| 44 – 59 P | 4 | ausreichend |
| 24 – 43 P | 5 | mangelhaft |
| 0 – 23 P | 6 | ungenügend |