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Kathetensatz

Zehn Aufgaben zum Kathetensatz — welcher Abschnitt gehört zu welcher Kathete, und wie hängen die drei Sätze zusammen?

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Was sagt der Kathetensatz?
AFB I

Im rechtwinkligen Dreieck ABC (rechter Winkel bei C) liegt p unter a und q unter b. Welche Gleichungen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Kathete und Abschnitt gehören zusammen, wenn sie aneinanderliegen: a mit p, b mit q. p · q gehört zum Höhensatz.
A2
Stimmt’s? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zum Kathetensatz.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

Merke das Bild: Quadrat über der Kathete = Rechteck unter der Hypotenuse, auf derselben Seite.
A3
Welcher Satz wird gebraucht?
AFB I

Sortiere die Aufgaben nach dem Satz, mit dem man sie am direktesten löst.

Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Kathetensatz
2Höhensatz
3Satz des Pythagoras
Die gegebenen Größen verraten den Satz: Kathete + Hypotenuse/Abschnitt → Kathetensatz, nur h, p, q → Höhensatz, nur Seiten → Pythagoras.
A4
Blitzrechnung: Kathete
AFB I

Die Hypotenuse ist c = 25 cm lang, der Abschnitt unter der Kathete a ist p = 16 cm. Wie lang ist a?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
a = √(25 · 16) = √400 = 20 cm. Probe: q = 9 cm, b = √(25 · 9) = 15 cm, und 20² + 15² = 625 = 25².
A5
Rechenkette: Vom Abschnitt zu allen Seiten
AFB II

Gegeben: c = 20 cm und q = 7,2 cm.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. p = c − q = cm
  2. a = √(c · p) = cm
  3. b = √(c · q) = cm
  4. Höhe h = a · b : c = cm
Die letzte Zeile nutzt die Fläche doppelt: ½ · a · b = ½ · c · h. Probe mit dem Höhensatz: 12,8 · 7,2 = 92,16 = 9,6².
A6
Herleitung zusammenbauen
AFB II

Baue die Herleitung des Kathetensatzes aus Pythagoras und Höhensatz — zwei Bausteine sind Fallen.

Setze den Bauplan von links nach rechts zusammen. Ein Klick legt den Baustein auf den nächsten freien Platz, ein Klick im Bauplan legt ihn zurück. Enter funktioniert genauso.
Die Falle „h² − p²“ verwechselt Kathete und Hypotenuse im Teildreieck: Dort ist a die Hypotenuse, also a² = h² + p².
A7
Kreuztabelle: Welcher Abschnitt?
AFB II

Hypotenuse c = 10 cm. Kreuze an, wie groß der Abschnitt p unter der Kathete a ist.

Setze in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
Kathete ap = 1,6 cmp = 3,6 cmp = 6,4 cmp = 8,1 cm
a = 4 cm
a = 6 cm
a = 8 cm
a = 9 cm
p = a² : c. Je länger die Kathete, desto größer ihr Abschnitt — bei a = 9 cm liegt der Höhenfußpunkt schon nah an der anderen Ecke.
A8
Flächen verbinden
AFB II

Links stehen Kathetenquadrate, rechts die flächengleichen Rechtecke (c · p). Verbinde.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Rechne c · p aus und vergleiche mit a²: 5 · 1,8 = 9, 9 · 4 = 36, 16 · 4 = 64, 20 · 5 = 100, 25 · 1,96 = 49.
A9
Fehlersuche im Schulheft
AFB II

Sechs Zeilen — drei sind falsch.

In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
Zeile 2 ist der häufigste Fehler: der falsche Abschnitt. Erst Figur zeichnen, dann Kathete und Abschnitt nebeneinander markieren.
A10
Was passiert mit dem Abschnitt p?
AFB III

In einem rechtwinkligen Dreieck wird etwas verändert. Schätze ein, was mit dem Abschnitt p unter der Kathete a passiert — ohne zu rechnen.

Wähle für jede Zeile eine Stufe: 1 = p wird viel kleiner, 2 = p wird kleiner, 3 = p bleibt gleich, 4 = p wird größer, 5 = p wird viel größer. Mit der Tastatur: Tab zur Zeile, ←/→ zwischen den Stufen, Enter setzt.
1 = p wird viel kleiner5 = p wird viel größer
a bleibt, c wird doppelt so lang.
a und c werden beide verdoppelt.
C wandert auf dem Thaleskreis in Richtung B.
Die Figur wird nur gedreht.
a wird doppelt so lang, c bleibt gleich.
Nach p = a² : c: c verdoppeln halbiert p, a und c verdoppeln verdoppelt p, a verdoppeln bei gleichem c vervierfacht p. Wandert C Richtung B, wird a kürzer — und p viel kleiner.