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Kathetensatz

Ein Garagendach und ein Streit um den kürzesten Weg: Zwei Aufgaben rund um Katheten und ihre Abschnitte.

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Das Pultdach der Garage

AFB I–II

Eine Garage bekommt ein Dach, dessen Querschnitt ein rechtwinkliges Dreieck ist: Die beiden Dachflächen treffen sich am First im rechten Winkel. Die Garage ist 7,5 m breit. Das Lot vom First trifft den Boden 2,7 m von der linken Wand entfernt.

Dachquerschnitt
2,7 m4,8 mhab
Skizze nicht maßstäblich
  1. Gib die Hypotenuse und die beiden Hypotenusenabschnitte an.
  2. Berechne die Längen der beiden Dachflächen im Querschnitt.
  3. Überprüfe deine Ergebnisse mit dem Satz des Pythagoras.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Garagenbreite liegt dem rechten Winkel am First gegenüber.
Hinweis zu Aufgabe b)
Kathetensatz: Dachfläche² = Hypotenuse · anliegender Abschnitt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Summe der Quadrate der beiden Dachflächen.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

c = 7,5 m; links q = 2,7 m; rechts p = 7,5 − 2,7 = 4,8 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

links: √(7,5 · 2,7) = √20,25 = 4,5 m; rechts: √(7,5 · 4,8) = √36 = 6 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

4,5² + 6² = 20,25 + 36 = 56,25 = 7,5² — die Ergebnisse passen.

2

Zwei Wege zur Kathete

AFB II–III

In einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die Hypotenuse c = 10 cm und die Höhe auf die Hypotenuse h = 4,8 cm. Lukas möchte die Kathete a berechnen und sagt: „Das geht nur, wenn ich p kenne.“ Hanna meint: „Ich brauche p gar nicht.“

  1. Bestimme die Abschnitte p und q (p ist der größere). Nutze p + q = 10 cm und p · q = h².
  2. Ermittle die Katheten a und b mit dem Kathetensatz.
  3. Nimm Stellung zu Lukas’ und Hannas Aussagen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
h² = 23,04. Suche zwei Zahlen mit Summe 10 und Produkt 23,04 — probiere mit einer Nachkommastelle.
Hinweis zu Aufgabe b)
a² = c · p, b² = c · q.
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Beziehungen verbinden a, b, c und h, ohne p zu benutzen?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

h² = 4,8² = 23,04. Mit p + q = 10 passen p = 6,4 cm und q = 3,6 cm, denn 6,4 · 3,6 = 23,04.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

a = √(10 · 6,4) = √64 = 8 cm; b = √(10 · 3,6) = √36 = 6 cm.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Lukas hat für den Kathetensatz recht, dort braucht er p. Hanna hat aber auch einen Weg: Die Fläche lässt sich doppelt schreiben, a · b = c · h = 48, und nach Pythagoras ist a² + b² = 100. Die Zahlen 8 und 6 erfüllen beides. Beide Wege führen zum Ziel — der Kathetensatz ist kürzer, sobald p bekannt ist.