Kathetensatz

Vom Höhensatz zum Kathetensatz

Im Teildreieck unter der Kathete \(a\) gilt \(a^2=h^2+p^2\). Mit dem Höhensatz (2.2.1) verschwindet die Höhe aus der Gleichung.

\(\textcolor{#2c5fb5}{a^2}=\textcolor{#c63d3d}{h^2}+p^2\)

\(h^2=p\cdot q\)

Pythagoras im Teildreieck mit den Seiten \(a\), \(h\) und \(p\).

\(\textcolor{#2c5fb5}{a^2}=p\cdot q+p^2\)

\(p\) ausklammern

Höhensatz eingesetzt.

\(\textcolor{#2c5fb5}{a^2}=p\cdot(q+p)\)

\(q+p=c\)

Beide Summanden enthalten den Faktor \(p\).

\(\textcolor{#2c5fb5}{a^2}=\textcolor{#7c5fb5}{c}\cdot p\)

Ergebnis

Die Abschnitte ergeben zusammen die Hypotenuse.

Genauso:im anderen Teildreieck \(b^2=c\cdot q\).
In Worten:Das Quadrat über einer Kathete ist so groß wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem Abschnitt unter dieser Kathete.

Merke

Kathetensatz: \(a^2=c\cdot p\) und \(b^2=c\cdot q\)

Unter der Hypotenuse liegt das Quadrat \(c^2\). Die verlängerte Höhe teilt es in zwei Rechtecke \(c\cdot p\) und \(c\cdot q\).

Ziehe die Ecke \(C\) auf dem Halbkreis (oder Tab und Pfeiltasten, mit Shift in kleinen Schritten). Vergleiche die gleichfarbigen Flächen.

Halte fest: Wo \(C\) auch liegt — das blaue Quadrat \(a^2\) und das blaue Rechteck \(c\cdot p\) sind gleich groß, ebenso die beiden grünen Flächen.

Kathete gesucht:\(a=\sqrt{c\cdot p}\), z. B. \(c=8\,\mathrm{cm}\), \(p=2\,\mathrm{cm}\): \(a=\sqrt{16}\,\mathrm{cm}=4\,\mathrm{cm}\).
Abschnitt gesucht:\(p=\dfrac{a^2}{c}\).
Zusammen:\(a^2+b^2=c\cdot p+c\cdot q=c\cdot(p+q)=c^2\) — ein zweiter Beweis für den Satz des Pythagoras.

Zu \(a\) gehört der Abschnitt, der an \(a\) anliegt. Wer \(a^2=c\cdot q\) schreibt, hat die Seiten vertauscht.

Im Kathetensatz steht \(c\), nicht \(q\): \(a^2=c\cdot p\), aber \(h^2=p\cdot q\).

Höhe einzeichnen, \(p\) und \(q\) beschriften — dann passen Pythagoras, Höhen- und Kathetensatz zur selben Skizze.