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Höhensatz

Zehn Aufgaben zum Höhensatz — rechnen, rückwärts rechnen und ein Rechteck in ein Quadrat verwandeln.

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Übungsaufgaben

Alle Übungen fortlaufend nummeriert — zuerst die interaktiven Übungen zum Klicken, Ziehen und Knobeln, danach die Rechen- und Textaufgaben. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Lückentext: Die Höhe im rechtwinkligen Dreieck
AFB I

Setze die Begriffe ein — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die Höhe h steht senkrecht auf der Hypotenuse, sie trifft sie im F. Dieser teilt die in zwei p und q. Der Höhensatz sagt: Das über der Höhe ist so groß wie das aus p und q

„Kathete“ bleibt übrig: Im Höhensatz kommen die Katheten gar nicht vor — nur h, p und q.
A2
Was gilt im Höhensatz?
AFB I

Welche Aussagen stimmen?

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
p und q sind Abschnitte der Hypotenuse, keine Katheten. Und im Satz steht h², nicht h.
A3
Blitzrechnung: Höhe
AFB I

Die Höhe teilt die Hypotenuse in die Abschnitte p = 2 cm und q = 18 cm. Wie lang ist die Höhe?

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
h = √(2 · 18) = √36 = 6 cm. Wer h = p · q rechnet, bekommt 36 cm — das ist h², nicht h.
A4
Begriffs-Memory: Höhensatz
AFB I

Finde die sechs Paare.

Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Die sechs Paare sind genau die Bausteine der Rechteck-in-Quadrat-Konstruktion.
A5
Rechenkette: Abschnitt und Hypotenuse
AFB II

In einem rechtwinkligen Dreieck ist h = 12 cm und p = 9 cm.

Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
  1. h² = cm²
  2. q = h² : p = cm
  3. c = p + q = cm
  4. Flächeninhalt A = ½ · c · h = cm²
Mit dem Höhensatz rückwärts kommst du von h und p zu q — und damit zur ganzen Hypotenuse. Die Fläche ergibt sich dann aus Grundseite c und Höhe h.
A6
Konstruktion: Rechteck in Quadrat verwandeln
AFB II

Ein Rechteck hat die Seiten 3 cm und 7 cm. Bringe die Konstruktionsschritte für ein flächengleiches Quadrat in die richtige Reihenfolge.

Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Strecke q = 7 cm zeichnen und p = 3 cm auf derselben Geraden anlegen.
2Mittelpunkt M der Gesamtstrecke (10 cm) bestimmen.
3Halbkreis (Thaleskreis) um M über der Strecke zeichnen.
4Im Teilungspunkt F die Senkrechte errichten — sie schneidet den Kreis in C.
5Über FC = h das Quadrat zeichnen: h = √21 cm ≈ 4,58 cm.
Ohne Thaleskreis kein rechter Winkel bei C — und ohne rechten Winkel gilt der Höhensatz nicht.
A7
Schätz-Regler: Wie hoch ist der Bogen?
AFB II

Ein halbkreisförmiger Brückenbogen ist 20 m weit. Wie hoch ist er 4 m vom Fußpunkt entfernt? Schätze erst, rechne dann!

Schiebe den Regler auf deine Schätzung — Pfeiltasten bewegen ihn feiner. Nach dem Prüfen siehst du den Trefferbereich.
0 m10 m
Thaleskreis + Höhensatz: h = √(4 · 16) = √64 = 8 m — schon nah an der Maximalhöhe 10 m. Viele schätzen zu niedrig, weil sie den Bogen als Dreieck denken.
A8
Welche Höhe gehört dazu?
AFB II

Links stehen die Abschnitte p und q, rechts die Höhe h. Verbinde.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Immer das Produkt p · q bilden und die Wurzel ziehen. Bei p = q ist das Dreieck gleichschenklig und h = p. Ist ein Abschnitt 1 cm, ist h einfach die Wurzel des anderen.
A9
Emils Rechenweg
AFB II

Emil soll die Hypotenuse c eines Dreiecks mit h = 6 cm und p = 4 cm bestimmen.

Spiele den Ablauf Schritt für Schritt durch: Was passiert als Nächstes? Nur die richtige Karte bringt dich weiter.
    Höhensatz rückwärts → Abschnitte addieren → Probe mit einem zweiten Satz.
    A10
    Fehlersuche: Konstruktion und Rechnung
    AFB III

    Sechs Aussagen aus einer Gruppenarbeit — drei sind falsch.

    In diesem Text stecken Fehler. Klicke genau die falschen Zeilen an — die richtigen musst du stehen lassen.
    Zeile 4 zeigt einen typischen Denkfehler: 5 ist der Mittelwert von 2 und 8 — gesucht ist aber die Wurzel des Produkts.