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Höhensatz

Ein Beet wird zum Quadrat und ein Tunnel wird zu eng: Zwei Aufgaben mit Höhen, Abschnitten und Thaleskreis.

1

Ein Quadrat so groß wie ein Beet

AFB I–II

Frau Aydın hat ein rechteckiges Blumenbeet von 2 m × 4,5 m. Daneben soll ein quadratisches Gemüsebeet mit genau derselben Fläche entstehen.

Höhensatz-Figur zum Beet
q = 4,5 mp = 2 mh = ?
Skizze nicht maßstäblich
  1. Berechne den Flächeninhalt des Blumenbeets.
  2. Bestimme mit dem Höhensatz die Seitenlänge des quadratischen Beets.
  3. Beschreibe, wie man die Quadratseite im Maßstab 1 : 100 nur mit Zirkel und Geodreieck konstruiert.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Rechteck: Länge mal Breite.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Rechteckseiten sind die Abschnitte p und q.
Hinweis zu Aufgabe c)
Strecke p + q, Thaleskreis, Senkrechte.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

A = 2 m · 4,5 m = 9 m².

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

h² = p · q = 2 · 4,5 = 9, also h = 3 m. Das Gemüsebeet ist 3 m × 3 m groß.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

2 cm und 4,5 cm auf einer Geraden aneinanderlegen (6,5 cm), Mittelpunkt suchen, Thaleskreis zeichnen, im Teilungspunkt die Senkrechte errichten. Der Abschnitt vom Teilungspunkt bis zum Kreis ist 3 cm lang — das entspricht 3 m.

2

Der Tunnel mit dem runden Dach

AFB II–III

Ein Fußgängertunnel hat einen halbkreisförmigen Querschnitt mit 6 m Breite. Am Boden sollen zwei Fahrspuren für Reinigungsfahrzeuge (je 2 m breit) liegen, dazwischen ein 2 m breiter Mittelstreifen. Die Fahrzeuge sind 2,1 m hoch.

  1. Begründe, warum man die Höhe des Tunnels an jeder Stelle mit dem Höhensatz berechnen kann.
  2. Ermittle die Tunnelhöhe an der äußeren Kante einer Fahrspur (Rand) und an ihrer inneren Kante.
  3. Beurteile, ob die Fahrzeuge die Fahrspuren nutzen können, und schlage eine bessere Lösung vor.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Denke an den Satz des Thales.
Hinweis zu Aufgabe b)
Außen: 0 m vom Rand — innen: 2 m vom Rand.
Hinweis zu Aufgabe c)
An welcher Stelle der Spur ist der Tunnel am niedrigsten?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Jeder Punkt auf dem Halbkreis bildet mit den beiden Fußpunkten ein rechtwinkliges Dreieck (Thales). Die senkrechte Linie zum Boden ist die Höhe in diesem Dreieck, sie teilt die Breite in p und q — also gilt h² = p · q.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Außen ist p = 0, die Höhe also 0 m. Innen: h = √(2 · 4) = √8 ≈ 2,83 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Nein: Am äußeren Rand ist der Tunnel 0 m hoch, 2,1 m werden erst erreicht, wenn h² = x(6 − x) = 4,41 ist, also ab x ≈ 0,86 m vom Rand. Die Fahrzeuge müssen deshalb mindestens 0,86 m Abstand zur Wand halten, z. B. mit zwei schmaleren Spuren näher an der Mitte (von 0,9 m bis 5,1 m sind überall mindestens 2,1 m Höhe).