Die Höhe teilt die Hypotenuse
Die Höhe \(h\) auf die Hypotenuse zerlegt das rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke.
- Höhe h:von \(C\) senkrecht auf \(c\), Fußpunkt \(F\).
- Abschnitt p:von \(F\) bis \(B\) — liegt unter der Kathete \(a\).
- Abschnitt q:von \(A\) bis \(F\) — liegt unter der Kathete \(b\).
- Zusammen:\(p+q=c\).
- Teildreiecke:beide rechtwinklig bei \(F\): \(a^2=h^2+p^2\) und \(b^2=h^2+q^2\).
Herleitung:
Höhensatz: \(h^2=p\cdot q\)
Aus einem Rechteck ein Quadrat
Der Höhensatz liefert zu jedem Rechteck ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt — nur mit Zirkel und Geodreieck.
- Gegeben:Rechteck mit den Seiten \(p\) und \(q\).
- Gesucht:Quadrat mit Seite \(h=\sqrt{p\cdot q}\).
- Idee:\(p\) und \(q\) als Hypotenusenabschnitte eines rechtwinkligen Dreiecks — dann ist seine Höhe die Quadratseite.
Baue die Konstruktion aus den vier Bausteinen unter der Zeichnung. Probiere ruhig auch eine falsche Reihenfolge — die Zeichnung zeigt, was dann fehlt.
Halte fest: Der Thaleskreis sorgt für den rechten Winkel bei \(C\), die Senkrechte in \(F\) für die Höhe — erst beides zusammen liefert \(h=\sqrt{p\cdot q}\).
Allgemeine Hinweise
p und q liegen auf c
Die Abschnitte sind Teile der Hypotenuse, keine Katheten. Erst die Höhe einzeichnen, dann \(p\) und \(q\) beschriften.
h², nicht h
Aus \(p=4\,\mathrm{cm}\), \(q=9\,\mathrm{cm}\) folgt \(h^2=36\,\mathrm{cm^2}\) — die Höhe selbst ist \(h=6\,\mathrm{cm}\).
Abschnitt fehlt?
Aus \(h\) und \(p\) folgt \(q=\dfrac{h^2}{p}\), und die Hypotenuse ist dann \(c=p+q\).