Wurzeln verstehen und berechnen
Die Quadratwurzel kehrt das Quadrieren um: Aus der Fläche eines Quadrats wird seine Seite.
Quadratwurzel
√a ist die nicht negative Zahl, die quadriert a ergibt. Der Radikand a darf nicht negativ sein.
Umkehrung
Quadrieren und Wurzelziehen heben sich auf — der Rückweg führt immer zur nicht negativen Zahl.
Gleichung x² = a
a > 0: zwei Lösungen, a = 0: eine, a < 0: keine.
Abschätzen
Zwischen zwei Quadratzahlen einschachteln; Komma und Nullen paarweise zählen.
Warum √25 nur 5 ist
Die Wurzel ist als eine bestimmte Zahl festgelegt — die nicht negative. Das „oder −5“ gehört zur Gleichung x² = 25, nicht zum Wurzelzeichen.
Die reellen Zahlen
Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen sprengen die rationalen Zahlen — mit ihnen wird die Zahlengerade lückenlos.
Rational
Als Bruch darstellbar; Dezimalzahl bricht ab oder ist periodisch.
Irrational
Unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode.
Zahlbereiche
Jeder Bereich enthält den vorigen.
Der Taschenrechner rundet
Die Anzeige 1,414213562 ist eine Näherung. Deshalb schreibt man √2 ≈ 1,41 — mit ≈, nicht mit =.
Rechnen mit Wurzeln
Beim Malnehmen und Teilen darf man Wurzeln zusammenfassen, beim Addieren nur gleiche Wurzeln.
Wurzelgesetze
Gelten für a, b ≥ 0 (beim Teilen b > 0).
Teilweises Wurzelziehen
Die größte Quadratzahl aus dem Radikanden herausziehen.
Zusammenfassen
Nur Wurzeln mit gleichem Radikanden, wie gleiche Variablen.
Sachaufgaben
Formel nach dem Quadrat umstellen, Wurzel ziehen, nur die positive Lösung behalten.
Keine Regel für Summen
√(9 + 16) = 5, aber √9 + √16 = 7. Eine Summe unter der Wurzel wird zuerst ausgerechnet.
Die Regeln, an denen die Punkte hängen
Diese drei Stellen kosten in der Arbeit am häufigsten Punkte.
Vorzeichen richtig behandeln
√(−9) gibt es nicht, √25 = 5 ist nie negativ, aber x² = 25 hat zwei Lösungen: 5 und −5.
Bis zum Ende vereinfachen
√72 = 2√18 ist noch nicht fertig. Erst wenn unter der Wurzel keine Quadratzahl mehr als Faktor steckt, ist die Wurzel vollständig vereinfacht: 6√2.
Exakt rechnen, zuletzt runden
Mit 5√2 oder √50 weiterrechnen und erst das Endergebnis runden — mit ≈ und passender Einheit.