Vier Zahlbereiche ineinander
Jeder neue Zahlbereich schließt eine Lücke des alten und enthält ihn vollständig.
- \(\mathbb{N}\) natürlich:\(0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots\) — Lücke: \(3-5\) geht nicht.
- \(\mathbb{Z}\) ganz:\(\ldots,-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;\ldots\) — Lücke: \(1:3\) geht nicht.
- \(\mathbb{Q}\) rational:alle Brüche: \(-\tfrac34\), \(0{,}5\), \(0{,}\overline{3}\) — Lücke: \(x^2=2\) hat keine Lösung.
- \(\mathbb{R}\) reell:alle rationalen und irrationalen Zahlen: dazu kommen \(\sqrt{2}\), \(\pi\), \(-\sqrt{5}\) …
Wähle eine Zahl: Sie landet im kleinsten passenden Zahlbereich — und alle Bereiche, zu denen sie gehört, leuchten auf.
Halte fest: Wer in \(\mathbb{N}\) liegt, liegt automatisch auch in \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) und \(\mathbb{R}\).
Die Zahlengerade ist lückenlos
Erst mit den reellen Zahlen ist die Zahlengerade vollständig gefüllt.
- Jeder Punkt:gehört zu genau einer reellen Zahl — auch der Punkt bei \(\sqrt{2}\).
- Ordnen:reelle Zahlen lassen sich immer vergleichen: \(-\sqrt{5}<-2<0{,}\overline{3}<\sqrt{2}<\pi\).
- Rechnen:in \(\mathbb{R}\) gelten dieselben Rechengesetze wie in \(\mathbb{Q}\).
Zahlbereiche: \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\) — \(\mathbb{R}\) besteht aus den rationalen und den irrationalen Zahlen
Allgemeine Hinweise
Erst ausrechnen, dann einordnen
\(\sqrt{9}=3\) ist eine natürliche Zahl, \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\) eine rationale.
Periodisch heißt rational
\(0{,}\overline{3}=\tfrac13\) hat unendlich viele Stellen, gehört aber zu \(\mathbb{Q}\).
Den kleinsten Bereich nennen
Für \(-3\) reicht „ganze Zahl“ — dass sie auch rational und reell ist, folgt von selbst.