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Das Zahlenrätsel
AFB I–IIMia denkt sich eine Zahl, quadriert sie und addiert 11. Heraus kommt 60.
- Stelle eine Gleichung für Mias Zahl x auf.
- Löse die Gleichung.
- Bestätige beide Lösungen durch eine Probe.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Übersetze Schritt für Schritt: quadrieren, dann 11 addieren.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erst x² allein stellen, dann die Wurzel ziehen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Setze beide Zahlen in die Rechenvorschrift ein.
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
x² + 11 = 60.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
x² = 49, also x = 7 oder x = −7.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
7² + 11 = 49 + 11 = 60 und (−7)² + 11 = 49 + 11 = 60. Beide Zahlen sind möglich.
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Die Bildfläche
AFB II–IIIEin quadratisches Foto soll so vergrößert werden, dass seine Fläche 3-mal so groß ist wie vorher. Das Original ist 12 cm breit. Tim rechnet: „x² = 3 · 144 = 432, also x = √432 ≈ 20,78 oder x ≈ −20,78.“
- Ermittle die Fläche des Originalfotos und des vergrößerten Fotos.
- Beurteile Tims Rechnung und seine Antwort.
- Vergleiche den Vergrößerungsfaktor der Fläche mit dem der Seitenlänge.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Fläche eines Quadrats: a · a.
Hinweis zu Aufgabe b)
Ist die Rechnung korrekt? Passen beide Lösungen zur Situation?
Hinweis zu Aufgabe c)
Teile die neue Seite durch die alte.
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Original: 12 cm · 12 cm = 144 cm²; vergrößert: 3 · 144 cm² = 432 cm².
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Die Rechnung ist korrekt: x² = 432, x = √432 ≈ 20,78. Die negative Lösung ist aber keine sinnvolle Seitenlänge. Antwort: Das neue Foto ist etwa 20,78 cm breit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
20,78 : 12 ≈ 1,73 = √3. Die Fläche wird 3-mal so groß, die Seite nur √3 ≈ 1,73-mal so lang.