Hin und zurück
Wurzelziehen macht das Quadrieren rückgängig — so wie Teilen das Malnehmen rückgängig macht.
- Hin:\(5\) quadrieren ergibt \(5^2=25\).
- Zurück:aus \(25\) die Wurzel ziehen ergibt \(\sqrt{25}=5\).
- Andersherum:erst Wurzel, dann quadrieren: \(\left(\sqrt{7}\right)^2=7\).
- Vorzeichen:\((-5)^2=25\), aber \(\sqrt{25}=5\) — der Rückweg führt immer zur nicht negativen Zahl.
Umkehrung: \(\sqrt{a^2}=a\) und \(\left(\sqrt{a}\right)^2=a\) für \(a\ge 0\)
Die Gleichung x² = a
Sucht man alle Zahlen \(x\) mit \(x^2=a\), passen oft zwei Zahlen: eine positive und eine negative.
- a > 0:zwei Lösungen, z. B. \(x^2=25\;\Rightarrow\;x=5\) oder \(x=-5\).
- a = 0:eine Lösung, \(x=0\).
- a < 0:keine Lösung, denn kein Quadrat ist negativ.
Verschiebe die Höhe \(a\): Die waagerechte Linie trifft die Parabel \(y=x^2\) genau dort, wo \(x^2=a\) gilt.
Halte fest: Über der x-Achse gibt es immer zwei Schnittpunkte, \(\sqrt{a}\) und \(-\sqrt{a}\) — die Wurzel selbst ist nur der rechte.
Lösungen von \(x^2=a\): \(a>0\): \(x=\sqrt{a}\) oder \(x=-\sqrt{a}\) · \(a=0\): \(x=0\) · \(a<0\): keine Lösung
Allgemeine Hinweise
√ liefert nur eine Zahl
\(\sqrt{25}=5\). Das „oder \(-5\)“ entsteht erst beim Lösen der Gleichung \(x^2=25\).
Vorzeichen nicht verlieren
\(\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4\) — nicht \(-4\).
Probe mit beiden Lösungen
Beide einsetzen: \(5^2=25\) und \((-5)^2=25\).