Gleiche Wurzeln zusammenfassen
\(\sqrt{2}\) verhält sich in einer Summe wie eine Variable: So wie \(3x+5x=8x\) ist \(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}\).
- Gleichartig:\(3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}=7\sqrt{2}\).
- Verschieden:\(3\sqrt{2}+5\sqrt{3}\) bleibt so stehen.
- Erst vereinfachen:\(\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\) (1.3.2).
- Ausmultiplizieren:\(\sqrt{2}\cdot\left(3+\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}+2\).
Baue eine Summe aus Wurzeln: Jede wird teilweise gezogen und nach ihrem Radikanden eingefärbt — gleiche Farben lassen sich zusammenfassen.
Halte fest: Zusammengefasst wird erst, nachdem jede Wurzel so weit wie möglich teilweise gezogen ist.
Wurzeln mit Variablen
Mit Variablen unter der Wurzel rechnet man genauso. Hier gilt stets \(x\ge0\).
- Quadrat herausziehen:\(\sqrt{9x^2}=3x\).
- Teilweise:\(\sqrt{x^3}=\sqrt{x^2\cdot x}=x\sqrt{x}\).
- Zusammenfassen:\(2\sqrt{x}+5\sqrt{x}=7\sqrt{x}\).
- Gemischt:\(\sqrt{4x}+\sqrt{x}=2\sqrt{x}+\sqrt{x}=3\sqrt{x}\).
Zusammenfassen: \(a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a+b)\sqrt{c}\) — nur bei gleichem Radikanden
Allgemeine Hinweise
Radikanden nicht addieren
\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) ist nicht \(\sqrt{5}\). Verschiedene Wurzeln bleiben getrennt stehen.
Erst teilweise ziehen
Oft entstehen dabei gleiche Radikanden: \(\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\).
Vorzeichen bei Variablen
\(\sqrt{x^2}=x\) gilt nur für \(x\ge0\). Für beliebiges \(x\) ist \(\sqrt{x^2}=|x|\) (1.1.5).