Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Regeln prüfen, Fehler finden und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, warum es √(−16) in den reellen Zahlen nicht gibt.
Hinweis: Denke daran, was beim Quadrieren herauskommt.
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Musterlösung: √(−16) müsste eine Zahl b mit b² = −16 sein. Jede reelle Zahl ergibt quadriert aber 0 oder eine positive Zahl, denn Minus mal Minus ist Plus. Deshalb gibt es keine solche Zahl, und √(−16) ist in ℝ nicht definiert.
Untersuche, ob √(a + b) = √a + √b für alle a, b ≥ 0 gilt. Gib ein Gegenbeispiel an und nenne, wann die Gleichung doch stimmt.
Hinweis: Probiere zwei Quadratzahlen, deren Summe wieder eine Quadratzahl ist.
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Musterlösung: Die Gleichung gilt nicht allgemein: √(9 + 16) = √25 = 5, aber √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Quadriert man die rechte Seite, erhält man a + 2√(ab) + b. Das ist nur dann gleich a + b, wenn √(ab) = 0 ist, also wenn a = 0 oder b = 0 gilt.
Beurteile die Aussage: „√2 = 1,414213562 — das zeigt ja der Taschenrechner.“
Hinweis: Wie viele Stellen hat √2 wirklich?
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Der Rechner zeigt nur zehn Stellen und rundet. 1,414213562 ist eine endliche Dezimalzahl, also rational — √2 ist aber irrational und hat unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode. Richtig ist √2 ≈ 1,414213562.
Erkläre den Unterschied zwischen „√25“ und „Löse x² = 25“.
Hinweis: Eine Frage fragt nach einer Zahl, die andere nach allen passenden Zahlen.
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Musterlösung: √25 ist per Definition die nicht negative Zahl, deren Quadrat 25 ist: √25 = 5. Bei der Gleichung x² = 25 sind alle Zahlen gesucht, die quadriert 25 ergeben. Das sind 5 und −5, denn auch (−5)² = 25. Die Lösungen lauten also x = √25 oder x = −√25.
Untersuche, wie sich die Seitenlänge eines Quadrats ändert, wenn sein Flächeninhalt vervierfacht bzw. verdoppelt wird.
Hinweis: Rechne mit a = √A und nutze das Wurzelgesetz für Produkte.
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Musterlösung: Bei vierfacher Fläche wird die Seite √(4A) = √4 · √A = 2 · √A, also doppelt so lang. Bei doppelter Fläche wird sie √(2A) = √2 · √A, also nur etwa 1,41-mal so lang. Die Seite wächst langsamer als die Fläche.
Entscheide und begründe, ob die Zahl 0,1010010001000010… (nach jeder 1 eine Null mehr) rational ist.
Hinweis: Wiederholt sich ein fester Block von Ziffern?
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Musterlösung: Die Zahl ist irrational. Die Nullen zwischen den Einsen werden immer mehr, deshalb wiederholt sich kein fester Ziffernblock, und die Darstellung bricht auch nicht ab. Rationale Zahlen haben aber immer eine abbrechende oder periodische Dezimaldarstellung.
Begründe, warum √50 = 5√2 gilt und warum man beim teilweisen Wurzelziehen die größte Quadratzahl wählt.
Hinweis: Nutze das Wurzelgesetz √(a · b) = √a · √b und vergleiche mit √72.
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Musterlösung: Es gilt 50 = 25 · 2, also √50 = √25 · √2 = 5√2. Wählt man nicht die größte Quadratzahl, bleibt unter der Wurzel noch eine Quadratzahl stecken: √72 = √(4 · 18) = 2√18 = 2 · 3√2 = 6√2. Mit 36 kommt man in einem Schritt zu 6√2.
Finde zwei verschiedene irrationale Zahlen, deren Produkt rational ist, und begründe.
Hinweis: Denke an zwei Wurzeln, deren Radikanden zusammen eine Quadratzahl ergeben.
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Musterlösung: Zum Beispiel √2 und √8: Beide sind irrational, weil 2 und 8 keine Quadratzahlen sind. Ihr Produkt ist √2 · √8 = √16 = 4, also rational. Das Produkt zweier irrationaler Zahlen kann also rational sein.
Beurteile Lenas Rechnung √12 + √3 = √15 und korrigiere sie.
Hinweis: Welche Regel hat Lena benutzt — und gibt es sie?
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Musterlösung: Lenas Rechnung ist falsch, denn für Summen gibt es kein Wurzelgesetz. Richtig: √12 = √(4 · 3) = 2√3, also √12 + √3 = 2√3 + √3 = 3√3 ≈ 5,20. Zum Vergleich: √15 ≈ 3,87.
Begründe, dass für 0 < a < 1 immer √a > a gilt.
Hinweis: Probiere a = 0,25 und überlege, was Quadrieren mit Zahlen zwischen 0 und 1 macht.
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Musterlösung: Sei b = √a. Dann liegt auch b zwischen 0 und 1, und b² = a. Multipliziert man b mit einer Zahl kleiner als 1, wird das Ergebnis kleiner: b · b < b. Also a < √a. Beispiel: √0,25 = 0,5 > 0,25.