Den Radikanden zerlegen
Steckt im Radikanden eine Quadratzahl als Faktor, zieht man aus ihr die Wurzel — der Rest bleibt unter der Wurzel.
- Zerlegen:\(50=25\cdot2\) mit der Quadratzahl \(25\).
- Aufteilen:\(\sqrt{50}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}\) — das Wurzelgesetz aus 1.3.1.
- Ergebnis:\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), gelesen „5 mal Wurzel 2“.
- Größte Quadratzahl:\(\sqrt{72}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}\). Mit \(4\) statt \(36\) bliebe \(2\sqrt{18}\) — noch nicht fertig.
Wähle eine Wurzel und dann eine Quadratzahl: Der Radikand zerfällt in gleich große Quadrate. Ihre Seitenlänge kommt vor die Wurzel, ihre Anzahl bleibt darunter.
Halte fest: \(\sqrt{m\cdot k^2}\) sind \(m\) Quadrate mit Seite \(k\) — also \(k\sqrt{m}\).
Wann ist man fertig?
Fertig ist man, wenn unter der Wurzel keine Quadratzahl mehr als Faktor steckt.
- Fertig:\(5\sqrt{2}\), \(3\sqrt{5}\), \(4\sqrt{3}\).
- Weiter zerlegen:\(2\sqrt{18}=2\cdot3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\).
- Rückwärts:\(3\sqrt{5}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{45}\) — der Faktor kommt quadriert unter die Wurzel.
Teilweises Wurzelziehen: \(\sqrt{a^2\cdot b}=a\sqrt{b}\) für \(a,b\ge0\) — die größte Quadratzahl herausziehen
Allgemeine Hinweise
Nur Produkte zerlegen
\(\sqrt{25+2}\) ist nicht \(5+\sqrt{2}\). Zerlegt wird der Radikand als Produkt, nie als Summe.
Quadratzahlen der Reihe nach testen
Von groß nach klein prüfen: \(49,\,36,\,25,\,16,\,9,\,4\) — der erste Teiler ist der richtige.
Beim Zurückholen quadrieren
\(3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt{45}\), nicht \(\sqrt{3\cdot5}\).