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Das Rechteck aus Wurzeln
AFB I–IIEin Rechteck hat die Seitenlängen a = √8 cm und b = √32 cm.
- Berechne den Flächeninhalt ohne Taschenrechner.
- Ermittle das Verhältnis b : a.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
A = a · b, dann das Multiplikationsgesetz.
Hinweis zu Aufgabe b)
Divisionsgesetz.
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
A = √8 · √32 cm² = √256 cm² = 16 cm².
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
b : a = √32 : √8 = √4 = 2. Die lange Seite ist doppelt so lang.
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Die Summenregel
AFB II–IIIJan behauptet: „Für alle Zahlen gilt √(a + b) = √a + √b. Das sieht man bei a = 0 und b = 9: √9 = 0 + 3.“
- Widerlege Jans Behauptung mit einem Gegenbeispiel.
- Untersuche, für welche a, b ≥ 0 die Gleichung doch stimmt.
- Beurteile Jans Vorgehen, eine Regel mit nur einem Beispiel zu begründen.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Wähle zwei Quadratzahlen ungleich 0.
Hinweis zu Aufgabe b)
Quadriere beide Seiten: (√a + √b)² = a + 2√(ab) + b.
Hinweis zu Aufgabe c)
Reicht ein Beispiel als Beweis?
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
a = 9, b = 16: √25 = 5, aber √9 + √16 = 7. Die Regel gilt nicht allgemein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gleichheit gilt genau dann, wenn 2√(ab) = 0 ist, also wenn a = 0 oder b = 0.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ein passendes Beispiel beweist keine allgemeine Regel — ein einziges Gegenbeispiel widerlegt sie aber. Jan hat zufällig den Sonderfall a = 0 erwischt.