Multiplizieren und Dividieren
Beim Malnehmen und Teilen darf man Wurzeln zusammenfassen oder aufteilen.
- Multiplizieren:\(\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=2\cdot3=6\) und \(\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{36}=6\).
- Dividieren:\(\sqrt{36}:\sqrt{4}=6:2=3\) und \(\sqrt{36:4}=\sqrt{9}=3\).
- Nutzen:\(\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\) — ganz ohne Taschenrechner.
- Auch mit Brüchen:\(\sqrt{\tfrac{9}{25}}=\tfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}=\tfrac35\).
Wurzelgesetze: \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\) und \(\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}\) für \(a\ge0,\ b\ge0\) (beim Teilen \(b>0\))
Keine Regel für Summen
Beim Addieren und Subtrahieren gibt es kein solches Gesetz.
- Summe:\(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\), aber \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\).
- Differenz:\(\sqrt{25}-\sqrt{9}=2\), aber \(\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\).
- Deshalb:eine Summe unter der Wurzel zuerst ausrechnen, dann die Wurzel ziehen.
Stelle a und b ein und trage die Messung ein. Oben liegen Produkt und Wurzel des Produkts immer aufeinander — unten klafft bei der Summe eine Lücke.
| a | b | √a · √b | √(a · b) | √a + √b | √(a + b) |
|---|---|---|---|---|---|
| Noch keine Messung — stelle a und b ein und tippe auf „Messung eintragen“. | |||||
Halte fest: Die beiden Produkt-Spalten stimmen in jeder Zeile überein, die Summen-Spalten nie.
Allgemeine Hinweise
√(a + b) ist nicht √a + √b
\(\sqrt{9+16}=5\), aber \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\). Zusammenfassen geht nur bei Mal und Geteilt.
Erst zusammenfassen, dann ziehen
\(\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\) — einzeln wären beide Wurzeln krumm.
Nur für nicht negative Zahlen
\(\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}\) gibt es nicht, auch wenn \((-4)\cdot(-9)=36\) ist.