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Quadratwurzeln

Zwei Aufgaben aus dem Alltag, in denen aus einer Fläche eine Länge wird.

1

Das quadratische Hochbeet

AFB I–II

Familie Kaya plant ein quadratisches Hochbeet mit einer Pflanzfläche von 2,25 m². Rundherum soll eine Holzeinfassung laufen.

  1. Berechne die Seitenlänge des Hochbeets.
  2. Bestimme die Länge der Holzeinfassung.
  3. Erkläre, warum die Lösung −1,5 m hier nicht in Frage kommt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2,25 ergibt. Denke an 15 · 15.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Einfassung läuft um alle vier Seiten.
Hinweis zu Aufgabe c)
Wofür steht die gesuchte Größe?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

a = √2,25 m = 1,5 m, denn 1,5 · 1,5 = 2,25. Das Hochbeet ist 1,5 m lang und breit.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

U = 4 · 1,5 m = 6 m. Man braucht 6 m Holz.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Zwar ist auch (−1,5)² = 2,25, aber eine Seitenlänge ist eine Länge und nie negativ. Außerdem ist √2,25 als nicht negative Zahl festgelegt.

2

Der Schulhof-Pausenplatz

AFB II–III

Die Schule möchte einen quadratischen Pausenplatz mit 400 m² pflastern. Ein Vorschlag lautet, den Platz doppelt so groß zu machen, also 800 m². Der Hausmeister meint: „Dann wird jede Seite auch doppelt so lang.“

  1. Ermittle die Seitenlänge des ursprünglichen Platzes.
  2. Überprüfe die Aussage des Hausmeisters, indem du die Seitenlänge des größeren Platzes abschätzt.
  3. Nimm Stellung: Wie müsste man die Fläche verändern, damit jede Seite wirklich doppelt so lang wird?

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Suche die Quadratzahl 400.
Hinweis zu Aufgabe b)
Liegt 800 zwischen zwei bekannten Quadratzahlen? 28² = 784, 29² = 841.
Hinweis zu Aufgabe c)
Rechne rückwärts: Welche Fläche hat ein Quadrat mit 40 m Seite?

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

a = √400 m = 20 m.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

28² = 784 < 800 < 841 = 29², also 28 m < a < 29 m (a ≈ 28,3 m). Doppelt so lang wären 40 m — die Aussage stimmt nicht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Ein Quadrat mit 40 m Seite hat 1600 m², also die vierfache Fläche. Nur bei vierfacher Fläche verdoppelt sich die Seite; bei doppelter Fläche wächst sie nur um den Faktor √2 ≈ 1,41.